**：揹包九講
有揹包容量為v，n個物品，每個重量為w[i]，價值為v[i]，每個物品僅有一件，要使得揹包價值最大怎麼裝物品？
定義dp陣列含義：dp[i][j]表示考慮前i個物品在揹包容量恰為j的情況下達到的最大價值。
狀態轉移方程：
f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+v[i])
解釋：針對第i個物品有兩種選擇，一是放進揹包，一是不放進揹包。max中的第一項就是不放進揹包，那麼就轉換為考慮前i-1件物品放進容量為j的揹包；第二項是放進揹包，問題轉化為前i-1件物品放入容量為j-w[i]的揹包，此時的最大價值是再加上當前的物品的價值。
使用滾動陣列的思想：
for (int i = 1; i <= n; i++)//遍歷物品for (int j = v; j >= 0; j--)//遍歷容量
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
外層遍歷物品，內層要從大到小遍歷，因為物品最多只能取一次。（完全揹包問題中是從小到大遍歷容量，因為可以取無限次。）
只要數量有限制都只能從大到小遍歷，其實從原始公式中看的更明顯，從大到小只保證使用的是i-1的計算結果。
總結：如果容量從小到大遍歷，那麼就會重複計算物品，使用的是之前計算的結果，針對完全揹包問題；那麼針對01揹包問題，就需要從後往前，就不會重複計算包了。
力扣例題：416. 分割等和子集
有揹包容量為v，n個物品，每個重量為w[i]，價值為v[i]，每個物品有無數件，要使得揹包價值最大怎麼裝物品？
dp陣列含義和上面相同，按照每個物品可取數量可以這麼寫，
f[i][j]=max(f[i−1][j−k∗w[i]]+k∗v[i])∣0<=k∗w[i]<=j
但是不好解。
for (int i = 1; i <= n; i++)//遍歷物品for (int j = w[i]; j <= v; j++)//遍歷容量
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
遍歷物品，但揹包容量是從小到大的，因為物品可以無限次使用。
兩層for迴圈可以替換？
舉例：322. 零錢兌換
for(int i=1;i<=amount;i++)}for(int i=0;i)
}
377. 組合總和 ⅳ，完全揹包問題，求組合數，結果可以重複，所以是對物品的排列，需要先遍歷容量，再遍歷物品。
* 1.0-1揹包問題，外層遍歷物品，內層從大到小遍歷容量；（因為只能用一次）
* 完全揹包問題，外層便利物品，內層從小到大遍歷容量。（能用多次）
70. 爬樓梯，如果本題用揹包思想來做，因為是排列問題，不是組合問題，所以需要遍歷容量，如果遍歷物品的話，那麼物品的順序是定的，就出現方法數變少的錯誤。
！！！錯誤的**！！！class
solution ;
vector
dp(n+1,0
); dp[
0]=1
;
for(int i=0;i)
}return
dp[n];
}};
//正確的**：
class
solution3 ;
vector
dp(n+1,0
); dp[
0]=1
;
for(int i=1;i<=n;i++)
}return
dp[n];
}};
每件物品多了個數量限制。
//還沒有做過這樣得的題目。
有的可以取0-1次，有的可以取無限次，有的能取k次。
那麼針對0-1和完全可以分開求解：
p[i]:每個物品的件數，0代表無窮個for (int i = 1; i <= n; i++)//
遍歷物品
if (p[i] == 0)//
完全揹包問題
for (int j = w[i]; j <= v; j++)//
從小到大遍歷
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] +v[i]);
else
for (int k = 1; k <= p[i]; k++)//
如果p[i]是1，就是0-1揹包問題，否則是多重揹包問題
for (int j = v; j >= w[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
//還沒有做過這樣的題目，希望做的時候能想到解法。
現在物品有兩種重量，兩種價值，當然也有兩個揹包，也就是有兩個限制，那麼就再多加一維狀態：
定義dp陣列含義：dp[i][j][k]表示考慮前i件物品，揹包容量分別為j和k時能達到的最大價值。
狀態轉移：
max(f[i−1][j][k],f[i−1][j−w[i]][k−g[i]]+v[i])//不放、放
那麼此時就需要從大到小遍歷：
for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = v; j >= w[i]; j--)//兩層均需要從大到小遍歷
for (int k = t; k >= g[i]; k--)
f[j][k] = max(f[j][k], f[j - w[i]][k - g[i]] + v[i]);
時間複雜度就是三層for迴圈乘積了，空間複雜度降成了二維。
題目：474. 一和零
揹包問題 01揹包總結
寫這篇部落格的原因是因為自己初學揹包的時候覺得好玄學。只是知道怎麼寫，但是具體是為什麼覺得很玄妙。在此其實希望和我一樣的小白萌新早點明白其中的原理，其實原理很簡單，只要懂了這個圖，我想01揹包就不成問題了。首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。關於01揹包的題目暫時整理了一點。1.簡單01揹包...
揹包問題總結
標籤 acm dp 揹包 n 物品，乙個揹包，每個物品價值wi 體積vi 揹包容量 c 求最大價值 對於物品 i可選可不選 fi j fi 1 j vi j 0 fi j max c j vi 給定 n 種物品和乙個揹包。第 i種物品的價值是 wi 其體積為vi 揹包的容量為 c 同一種物品的數量無...
揹包問題總結
揹包問題主要是分為三種 0 1揹包，完全揹包，多重揹包 1 0 1揹包 定義 何謂0 1揹包，可以這樣想，那裡有一堆值錢的東西，每一樣東西只有一件，他們的價值和體積都不一樣，現在要你從這n件裡面挑選一些放到乙個容量一定的揹包裡面，使得你的揹包裡的東西總價值最大。對於這些東西的每一件，你可以選擇放進你...