乙個小問題

2021-10-24 08:53:11 字數 2281 閱讀 6832

設機器字長w

ww位元,u∣w

,w=u

cu|w,w = uc

u∣w,w=

uc。將w

ww分為c

cc個連續長度為u

uu位元的區間,稱為u

uu區間。實現操作:對於乙個機器字x

xx,如果乙個u

uu區間非0,則將區間最右bit置1,其餘為0。要求演算法時間為o(1

)o(1)

o(1)

考慮異或操作。對於乙個u

uu位的二進位制數x

xx,當且僅當x=0

x = 0

x=0的時候,f(x

)=((

not(

x))+

1)

f(x) = ((not(x))+1)

f(x)=(

(not

(x))

+1)會向第u+1位進製。其中not

(x

)not(x)

not(x)

表示對x

xx取反

於是,當c=1

c=1c=

1的時候,即u

uu區間就是字長時,通過執行f(x

)f(x)

f(x)

後c fcf

cf位是否為1,可判斷x

xx是否為0。

但是,當c

>

1c>1

c>

1時,我們就必須考慮上述的「進製操作」能否正常的儲存下來,以便於我們判零。

不妨先考慮c=2

c=2c=

2時的情況,設高位址的u

uu區間為x

xx,低位址的u

uu區間為yyy,

若y

yy不產生進製,我們就無需考慮進製之後的問題;

若y

yy產生了進製,那麼什麼時候這種進製可以在x

xx的最低位儲存下來呢?顯然是x

xx的最低位為0時(取反再加1後,該位為0)。

如果x

xx的最低位不為零怎麼辦?我們可以先處理它,得到最低位對答案的貢獻,記為ans

1ans_1

ans1

​。然後將最低位統統清零,再通過f(x

)f(x)

f(x)

來判零。記此時的答案為ans

2ans_2

ans2

​可是又產生了乙個新的問題:如果乙個區間的值就是00…01,在最低位清零之後,f(x

)f(x)

f(x)

判零法會失效。怎麼辦?

我們先列舉某個區間在兩次答案中的所有可能情況sss=

首先,(零,非零)不會出現,可以直接排除;

其次,對於(零,零) 和 (非零,非零),判零法是有效的;

最後,出現(非零,零),說明判零法失效,我們需要消除這種影響。

對於c

>

2c>2

c>

2的情況可以直接推廣。

分析完解題思路後,假設我們得到的w

ww位二進位制數是xxx,

我們如何來得到ans

1ans_1

ans1​呢?

對x

xx按位與乙個二進位制常數c1=

((0)

u−11

)c(2

)c_1=1)^c}_

c1​=((

0)u−

11)c

(2)​

,(i

ii的k

kk次冪表示連續的k

kk個iii)

常數中的1用來「儲存」我們需要的位,如果那一位是1,則會被記錄到ans

1ans_1

ans1

​的相應位中,否則就不會被記錄下來。

之後,如何消除最低位呢?

對x

xx按位與乙個二進位制常數c2=

((1)

u−10

)c(2

)c_2=0)^c}_

c2​=((

1)u−

10)c

(2)​

,並替換x

xx此時,常數中的0負責對相應的位清零

再然後,對f(x

)f(x)

f(x)

的結果右移u

uu位就可以得到ans

2ans_2

ans2​了

注:最高位的進製(如果有),儲存在cf中,需要採用帶進製迴圈右移一位取出cf到最高位,之後再採用邏輯右移對最高位補零

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