演算法實現題統計數字

一本書的頁碼從自然數 1 開始順序編碼直到自然數 n。書的頁碼按照通常的習慣編排，每個頁碼都不含多餘的前導數字 0。例如，第 6 頁用數字 6 表示，而不是 06 或 006 等。數字計數問題要求對給定書的總頁碼 n，計算出書的全部頁碼中分別用到多少次數字 0，1，2，…，9。給定表示書的總頁碼的 10 進製整數 n (1≤n≤10^9) 。程式設計計算書的全部頁碼中分別用到多少次數字 0，1，2，…，9。程式執行結束時，將計算結果輸出到檔案 output.txt 中。輸出檔案共有 10 行，在第 k 行輸出頁碼中用到數字 k-1 的次數，k=1，2，…10。

這道題很容易想到暴力解法，比如把各個數進行取餘運算再進行數字匹配，或者把所有的數字組成字串再進行遍歷和匹配計數，但這樣的作法只能應付資料較小的情況，題目的資料上限是10^9，所以這些方法都不適宜。

查閱一些資料後了解到這樣乙個公式：

n位數的各個數字出現的次數滿足：n*10^(n-1)。

這裡的「n位數」是指用0補位的，例如三位數是值 000 - 999。

我們可以把乙個n+1位數拆分為乙個首位數(m，m肯定不是0) 和乙個 n位數(k)。這個k定然滿足上述 "n位數" 的情況。

例如：給定頁數1315，我們可以把它拆分為首位8和乙個3位數。

在有首位數(m)的前提下，上面的公式就發生了乙個小的變化，這個很好理解，假設我們給定資料3556，m=3，共有如下3種有效情況：

1.首位數為1，1連線3位數。

2.首位數為2，2連線3位數。

3.首位數為3，3連線3位數。

那麼上面的公式就變成這樣：乙個n+1位數，在去除首位數(m)的情況下，後面n位數出現0-9的次數均為 m*n*10^(n-1)。

到這裡我們已經完成了第一步，然後再考慮首位數的情況，首位數出現的次數與後面的數有關，這個很好理解。

至此，乙個n+1位數的情況已經分析得差不多了。我們還得考慮一些特殊情況，比如1000，1003這些數，我們對數去首位的方法採用取餘法，這樣會過濾掉中間或者尾部的0，針對這類情況我們直接將其加上就行。

下面根據分析情況得出**：

/*
統計數字問題
*/#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
void
func
(unsigned
long num,
int size, vector<
unsigned
long
>
& count)
//首位從0到first_num計數
count[first_num]
+= after_fst_num +1;
// +1是因為多了個了全零位
for(
int i =
0; i < first_num; i++)if
(after_fst_num ==0)
else
if(size - size_after_fst_num >1)
//加上中間的0，因為每次遞迴都是用的餘數，中級的0會被跳過
func
(after_fst_num, size_after_fst_num, count);}
intmain()
func
(num, size, count)
;//減去前置多填充的0，位數從1開始
for(
int i =
1; i <= size; i++
)//輸出到螢幕
for(
auto x : count)
//輸出到檔案
ofstream outfile;
outfile.
open
("outfile.txt");
for(
auto x : count)
outfile.
close()
;//記錄測試時間
//time_t t2 = clock();
return0;
}

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