么元，若對於乙個二元運算+（+並不是指一般意義的加法，它可以指代任何二元運算），在有若干個數的集合中，存在乙個元素，對於其他任何元素，通過這個二元運算之後，結果都是其他任何元素本身，則稱這個元素是這個集合對於該二元運算+的么元，記為e。以加法為例，0就是在整數集合中加法的么元；
零元，若對於乙個二元運算+（+並不是指一般意義的加法，它可以指代任何二元運算），在有若干個數的集合中，存在乙個元素，對於其他任何元素，通過這個二元運算之後，結果都是這個元素本身，則稱這個數是這個集合對於該二元運算+的零元，記為θ。以乘法為例，0就是在整數集合中加法的零元；
逆元，若對於乙個二元運算+（+並不是指一般意義的加法，它可以指代任何二元運算），存在乙個元素a，滿足a+a-1=e（e為該運算的么元），則a與a-1互為逆元。以加法為例，整數這個集合中，乙個數和它的相反數互為逆元。
群的定義
滿足以下公理的集合g稱為群：（注：×為廣義運算）
①在運算×下是封閉的；
②存在么元（單位元），且唯一；
③對於g中的任意的元，都有與其對應的逆元，且唯一；
④對於g中的任意的元，都滿足結合律。
阿貝爾群的定義
①在運算×下是封閉的；
②存在么元（單位元），且唯一；
③對於g中的任意的元，都有與其對應的逆元，且唯一；
④對於g中的任意的元，都滿足結合律；
⑤對於g中的任意的元，都滿**換律。
半群的定義
①在運算×下是封閉的；
②對於g中的任意的元，都滿足結合律。
含么半群的定義
①在運算×下是封閉的；
②存在么元（單位元），且唯一；
③對於g中的任意的元，都滿足結合律。
群的性質
①當乙個群g中只含有有限元素，那麼這些元素的個數記為群g的階，記作#g。
②乙個群g中的任何子群在相同的運算下如果也是群，則稱之為群g的乙個子群。
③如果存在乙個最小正整數k，滿足gk=e，則稱k為群g中元素g的階。
④有限群中任意元素β的階可整除該群的階。
⑤相較於無限群，有限群因為其易在計算機中實現，故其在密碼學中的作用更大。
群的例子
整數群：
①對於任何兩個整數a和b，它們的和也是整數。滿足條件①，關於運算+是閉集；
②對於任何整數a，存在0 + a = a + 0 = a，滿足條件②存在么元；
③對於任何整數a，存在另乙個整數b使得a + b = b + a = 0，則整數b叫做整數a的逆元，記為a-1，滿足條件③；
④對於任何整數a，b和c，存在(a + b) + c=a + (b + c)。滿足條件④，關於運算+滿足結合律。
環的定義
滿足以下公理的集合r稱為環：
⑴對於加法的代數系統+：（環在加法下是乙個阿貝爾群）
①在運算+下是封閉的；
②存在么元（單位元），且唯一；
③對於r中的任意的元，都有與其對應的逆元，且唯一；
④對於r中的任意的元，都滿足結合律；
⑤對於r中的任意的元，都滿**換律。
⑵對於乘法的代數系統×：（環在乘法下是乙個半群）
①在運算×下是封閉的；
②對於r中的任意的元，都滿足結合律；
⑶關於運算+和×：
對於r中的任意的元，都滿足分配律。
環的性質
①若環中的乘法運算滿**換律，即ab=ba，這樣的環稱為交換環。
②若環中的乘法運算擁有么元，這樣的環稱之為含么環。
環的例子
整數環：
整數集z對於運算+是乙個阿貝爾群；
對於運算×是乙個半群；
所以集合z是乙個環（整數環）
域的定義
滿足以下公理的集合f稱為域：
⑴對於加法的代數系統+：（域在加法下是乙個阿貝爾群）
①在運算+下是封閉的；
②存在么元（單位元），且唯一；
③對於f中的任意的元，都有與其對應的逆元，且唯一；
④對於f中的任意的元，都滿足結合律；
⑤對於f中的任意的元，都滿**換律。
⑵對於乘法的代數系統×：
（域（0元素除外）在乘法下是乙個阿貝爾群）
①在運算+下是封閉的；
②存在么元（單位元），且唯一；
③對於f中的任意的元（除0元素），都有與其對應的逆元，且唯一；
④對於f中的任意的元，都滿足結合律；
⑤對於f中的任意的元，都滿**換律。
⑶關於運算+和×：
對於f中的任意的元，都滿足分配律。
域的性質
①域的乙個子集如果在繼承的加法和乘法運算下本身也是乙個域，就稱為域。例如，實數域便是複數域的乙個子域。
②含有有限個元素的域稱為有限域fq或伽羅華域gf(q)，其中q為該有限域的元素個數。
③含有2m個元素的有限域稱為二進位制域。
④含有p（p為奇素數）個元素的有限域稱為二進位制域。
⑤含有pm（p為素數）個元素的有限域稱為特徵值為p的域。在特徵值為p的有限域中，表示式( a + b ) p m = a p m + b p m (a+b)^ =a^+b^(a+b)pm=apm+bpm恆成立。
域的例子
有限域：
舉例來說，如10以內的非負整數，就是乙個有限域。
一般描述有限域，通過對整數取模（mod）的餘數來表示，比如所有整數模5的結果，就是乙個有限域（只包含0~4），這是5這個素數的1次方。
密碼學中的數學基礎1 群環域
宣告 本篇博文的內容摘自於 密碼編碼學與網路安全 這本書。群 環和域都是數學理論中的乙個分支，即抽象代數或稱為近世代數的基本元素。在抽象代數中，我們關心的是其元素能進行代數運算的集合，也就是說，我們可以通過很多種方法，使集合上的兩個元素組合得到集合中的第三個元素。這些運算方法都遵守特殊的規則，而這些...
密碼學數學基礎
設是代數系統，其中g是非空集合，在g中定義了乙個二元運算 即對g中任意a,b有g中唯一元素 記為a b 與之對應 且滿足如下規律 1.封閉性。對任意a,b g，總有a b g 2.結合律。a b c a b c，對任意的a,b,c g 3.恆元 存在e g，使得e a a 對任意的a g 4.逆元 ...
密碼學 密碼學基礎
密碼學是研究編制密碼和破譯密碼的技術科學。密碼學的安全目標至少包含三個方面 保密性 完整性 可用性。完整性 資源只有授權方以授權的方式進行修改，所有資源沒有授權則不能修改。可用性 資源只有在適當的時候被授權方訪問，並按需求使用。密碼系統由5部分組成 1 明文空間m 全體明文的集合 2 密文空間c 全...