概率/期望 dp，是一種 dp，用來計算概率或者是期望。
其實我認為這種 dp 就是計算期望的，畢竟概率可以看成代價為 1 的期望。
沒有學過期望的讀者可以看看這篇文章：演算法學習筆記：概率與期望
而概率/期望 dp，最關鍵的就是期望方程。
下面看一道例題。
cf1265e beautiful mirrors
以這題為例，詳細講解期望 dp 的一般套路。
為了方便，下面直接認為 p
ip_i
pi 就是概率。
首先設狀態。
期望 dp 設狀態：f[i
]=從1
到i的期
望(天數
/步數/
代價/.
..
)f[i]=從 1 到 i 的期望(天數/步數/代價/...)
f[i]=從
1到i的
期望(天
數/步數
/代價/
...)
。對於這道題，f
if_i
fi 為從第一面鏡子到第 i
ii 面鏡子都高興的期望天數。
期望 dp 的轉移：使用 fi−
1,fi
f_,f_i
fi−1,
fi 列期望方程。
列期望方程是重點！不能列錯！還有不要解錯
第 ii
i 天詢問失敗，從頭開始。
此時概率為 1−p
i1-p_i
1−pi
，消耗天數為 fi−
1+1+
fi
f_+1+f_i
fi−1+
1+fi
，於是概率乘代價為 (1−
pi)(
fi−1
+1+f
i)
(1-p_i)(f_+1+f_i)
(1−pi
)(fi
−1+
1+fi
)。第 i
ii 天詢問成功。
此時概率為 p
ip_i
pi，消耗天數 fi−
1+
1f_+1
fi−1+
1，於是概率乘代價為 pi(
fi−1
+1
)p_i(f_+1)
pi(fi
−1+
1)。
綜上，有 fi=
(1−p
i)(f
i−1+
1+fi
)+pi
(fi−
1+1)
f_i=(1-p_i)(f_+1+f_i)+p_i(f_+1)
fi=(1
−pi
)(fi
−1+
1+fi
)+p
i(f
i−1
+1)。
然而 p
ip_i
pi 只是概率，真正**中還需要除以 100 才行。
除以 100 之後最後解得 fi=
100(fi
−1+1
)p
if_i=\dfrac+1)}
fi=pi
100
(fi−
1+1
)，線性遞推即可，不要忘記逆元。
總結一下期望 dp 的一般套路：
設狀態 f
if_i
fi 為從 1 到 i
ii 的期望天數/步數/…
列出關於 fi−
1f_
fi−1
和 f
if_i
fi 的期望方程。解方程，然後線性遞推。
如果有特別的初值要加上。
幾個注意點：
期望方程不要列錯，一定要考慮到每一種情況。方程不要解錯
初值不能漏。
例題的**：
#include
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
const
int maxn =
2e5+
10, p =
998244353
;int n, p[maxn]
;ll f[maxn]
;int
read()
while
(ch >=
'0'&& ch <=
'9')
return sum * fh;
}ll ksm
(ll a, ll b)
return ans;
}int
main()
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p4316 綠豆蛙的歸宿 p1850 noip2016 提高組 換教室 p3802 小魔女帕琪 p5104 紅包發紅包 p4550 收集郵票 f i frac f i 1 frac f 1 g i frac g i f i 1 frac g f 1 p1291 shoi2002 百事世界盃之旅 p3...