概率期望學習筆記

由於自己初學概率期望,學的都是簡單題，就不分開寫部落格了.

非常入門的概率期望題目。但因為題目意思比較噁心.

一共有\(2 * n\)個鞋頭，第\(i\)次操作前還有\(2 * n - (i - 1) * 2\)個鞋頭，由於我們選出乙個後,它不能和自己綁,也不能和和它在同一條鏈上的綁。

所以

#include#include#includeusing namespace std;

const int n = 1e3 + 3;
double f[n];
int n;
double s;
int main()
printf("%.6lf\n",f[n]);
return 0;
}

概率期望dp在很多時候都應當倒推.

這道題目網上題解的狀態定義比較模糊,蒟蒻看不懂,在這裡說一下自己的理解

\(f_\)表示當前桌子上還有\(i\)個紅牌未翻開\(j\)個黑牌未被翻開的,你的期望最優得分(再多得多少分)

#include#include#include#include#includeusing namespace std;

const int n = 5e3 + 3;
double f[2][n];
int cnt = 0;
int b,r;
int n;
double ans;
int main()
} printf("%.6lf\n",f[cnt][b] - 5e-7);
return 0; 
}

錯誤：入度統計反了

我們依舊考慮建反圖逆推\(f_i\)表示\(i - n\)的期望路徑長度

倒著dp即可

#include#include#include#include#include#includeusing namespace std;

const int n = 3e5 + 3;
int tot,n,m;
double f[n];
int head[n],in[n],d[n];
queue q;
struct edgee[n];
inline void add(int x,int y,int z)
inline void spfa()
} printf("%.2lf\n",f[1]);
}int main()
q.push(n);
spfa();
return 0; 
}

依舊是比較基礎的概率期望的dp

設\(f_\)表示第\(i\)次操作完成之後在\(j\)位置的概率

注意當\(j - w\)和\(j + w\)越界的時候特判一下。細節見**

#include#include#include#includeusing namespace std;

const int n = 205;
double f[2][n];
inline int read()
while(isdigit(ch))
return v * c;
}int main()
} for(int i = l;i <= r;++i) ans += f[cnt][i];
printf("%.4lf\n",ans);
} return 0; 
}

我們想一下

設\(f_\)表示已經發現\(i\)種漏洞已經在\(j\)個系統發現了漏洞達到\(f_\)的期望天數

借用這位大佬的圖

那麼結合上面的圖

之後我們設

我們將上式化開

將\((1 - p_4)\)除到右邊就好了

#include#include#include#define p1 (1.0 * (n - i) * (s - j) / (n * s))

#define p2 (1.0 * (n - i) * j / (n * s))
#define p3 (1.0 * i * (s - j) / (n * s))
#define p4 (1.0 * i * j / (n * s))
using namespace std; 
const int n = 1e3 + 3;
double f[n][n];
int main()
printf("%.4lf\n",f[0][0]);
return 0;
}

我們設擲出和\(s\)的機率為\(p_s\)（特別的,將\(a,b,c\)那一組設為\(p_0\)）,\(f_i\)為獲得i分數的期望次數

很明顯的轉移方程(倒推)

之後我們發現了乙個非常噁心的事情。就是每次轉移都和\(f_0\)有關,而\(f_0\)是我們求得最終答案

我們試著化簡一下,因為每個\(f\)的式子都與\(f_0\)有關我們設

那麼有我們將上式帶回原式子

試著整理一下

又因為我們就可以得到

又因為所以

我們得到了\(a\)與\(b\)的逆推式子,又知道\(f_0\)與\(a_0\)，\(b_0\)的關係，就好做

#include#include#include#includeusing namespace std;

const int n = 1005;
double f[n];
double x[n],y[n],p[n];
int k1,k2,k3,a,b,c,n;
int main()
printf("%.15lf\n",y[0] / (1 - x[0]));
} return 0;
}

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