動態規劃之記憶化搜尋

以 noip 2005 採藥 為例：

山洞裡有 m 株不同的草藥，採每一株都需要一些時間 \(t_i\) ，每一株也有它自身的價值 \(v_i\) 。我會給你一段時間 t，在這段時間裡，你可以採到一些草藥。讓採到的草藥的總價值最大。

int n, t;

int tcost[103], mget[103];
int ans = 0;
void dfs(int pos, int tleft, int tans) 
dfs(pos + 1, tleft, tans);
dfs(pos + 1, tleft - tcost[pos], tans + mget[pos]);
}int main()

emmmmmm....... \(30\) 分

然後我心血來潮，想不借助任何 "外部變數"（就是 dfs 函式外且值隨 dfs 執行而改變的變數), 比如 ans

把 ans 刪了之後就有乙個問題：我們拿什麼來記錄答案？

答案很簡單：

返回值！

此時 \(dfs(pos,tleft)\) 返回在時間 \(tleft\) 內採集後\(pos\) 個草藥，能獲得的最大收益

不理解就看看**吧：

int n, time;

int tcost[103], mget[103];
int dfs(int pos, int tleft) 
int main()

但這個時候，我們的程式已經不依賴任何外部變數了。

然後我非常無聊，將所有 dfs 的返回值都記錄下來，竟然發現……

震驚，對於相同的 pos 和 tleft,dfs 的返回值總是相同的！

想一想也不奇怪，因為我們的 dfs 沒有依賴任何外部變數。

旁白：像 \(tcost[103]\) , \(mget[103]\) 這種東西不算是外部變數，因為它們的值在 dfs 過程中不會被改變。

然後？開個陣列 \(mem\) , 記錄下來每個 \(dfs(pos,tleft)\) 的返回值。剛開始把 \(mem\) 中每個值都設成 \(-1\) （代表沒訪問過）。每次剛剛進入乙個 dfs 前（我們的 dfs 是遞迴呼叫的嘛），都檢測 \(mem[pos][tleft]\) 是否為 \(-1\) , 如果是就正常執行並把答案記錄到 \(mem\) 中，否則？

直接返回 \(mem\) 中的值！

int n, t;

int tcost[103], mget[103];
int mem[103][1003];
int dfs(int pos, int tleft) 
int main()

在時間 \(tleft\) 內採集後\(pos\) 個草藥，能獲得的最大收益

能。這就是 "採藥" 那題的 ac **

好我們 yy 出了記憶化搜尋

總結一下記憶化搜尋是啥：

有人會問：記憶化搜尋難道不是搜尋？

是搜尋。但個人認為她更像 dp :

不信你看 \(mem\) 的意義：

在時間 \(tleft\) 內採集後\(pos\) 個草藥，能獲得的最大收益

由上面的**中可以看出：

\(mem[pos][tleft] = max(mem[pos+1][tleft-tcost[pos]]+mget[pos]\ ,\ mem[pos+1][tleft])\)

個人認為：

記憶化搜尋約等於動態規劃，（印象中）任何乙個 dp 方程都能轉為記憶化搜尋

比如：\(dp[i][j][k] = dp[i+1][j+1][k-a[j]] + dp[i+1][j][k]\)

轉為

int dfs(int i, int j, int k) 

int main()

根據他們寫出 dfs 函式

新增記憶化陣列

舉例：\(dp_ = max\+1\}\quad 1 \leq j < i and a_（最長上公升子串行）

轉為

int dfs(int i) 

int main()

將這個 dfs 改成 "無需外部變數" 的 dfs

新增記憶化陣列

舉例：本文最開始介紹 "什麼是記憶化搜尋" 時舉的 "採藥" 那題的例子

優點：舉例：給你乙個有向圖（注意不是完全圖），經過每條邊都有花費，求從點 1 出發，經過每個點恰好一次後的最小花費（最後不用回到起點），保證路徑存在。

dp 狀態很顯然：

設 \(dp_\) 表示身處在 \(pos\) 處，走過 \(mask\) (mask 為乙個二進位制數）中的頂點後的最小花費

常規 \(dp\) 的狀態數為 \(o(n\cdot 2^n)\) , 轉移複雜度（所有的加在一起）為 \(o(m)\)

但是！如果我們用記憶化搜尋，就可以避免到很多無用的狀態，比如 \(pos\) 為起點卻已經經過了 \(>1\) 個點的情況。

舉例：用常規 dp 寫 "合併石子" 需要先列舉區間長度然後列舉起點，但記憶化搜尋直接列舉斷點（就是列舉當前區間由哪兩個區間合併而成）然後遞迴下去就行

缺點：

int g[maxn];

int f(傳入數值) 
int main()

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