Manacher演算法求最長回文子串

首先，得先了解什麼是回文串。回文串就是正反讀起來就是一樣的，如「abcdcba」。o(n

3)'>o(n

2)'>我們要是直接採用暴力方法來查詢最長回文子串，時間複雜度為o（n^3）,好一點的方法是列舉每乙個字元，比較較它左右距離相鄰的點是否相等，我們姑且稱之為中心檢測法，時間複雜度為o（n^2）。

當我們遇到字串為「aaaaaaaaa」，之前的演算法就會發生各個回文相互重疊的情況，會產生重複計算，然後就產生了乙個問題，能否改進？答案是能，2023年，乙個叫manacher發明了manacher algorithm演算法，俗稱馬拉車演算法，其時間複雜為o(n)。該演算法是利用回文串的特性來避免重複計算的。

在中心檢測法中，我們在遍歷的過程要考慮到回文串長度的奇偶性，比如說「abba」的長度為偶數，「abcba」的長度為奇數，這樣在尋找最長回文子串的過程要分別考奇偶的情況，是否可以統一處理了？

manacher演算法：

一）第一步是改造字串s，變為t，其改造的方法如下：

在字串s的字元之間和s的首尾都插入乙個「#」，如：s=「abba」變為t="#a#b#b#a#" 。我們會發現s的長度是4，而t的長度為9，長度變為奇數了！！那s的長度為奇數的情況時，變化後的長度還是奇數嗎？我們舉個例子，s=「abcba」，變化為t=「#a#b#c#b#a#」，t的長度為11，所以我們發現其改造的目的是將字串的長度變為奇數，這樣就可以統一的處理奇偶的情況了。

二）第二步，為了改進回文相互重疊的情況，我們將改造完後的t[ i ] 處的回文半徑儲存到陣列p[ ]中，p[ i ]為新字串t的t[ i ]處的回文半徑，表示以字元t[i]為中心的最長回文字串的最端右字元到t[i]的長度，如以t[ i ]為中心的最長回文子串的為t[ l, r ]，那麼p[ i ]=r-i+1。這樣最後遍歷陣列p[ ]，取其中最大值即可。若p[ i ]=1表示該回文串就是t[ i ]本身。舉乙個簡單的例子感受一下：

陣列p有一性質，p[ i ]-1就是該回文子串在原字串s中的長度，那就是p[i]-1就是該回文子串在原字串s中的長度，至於證明，首先在轉換得到的字串t中，所有的回文字串的長度都為奇數，那麼對於以t[i]為中心的最長回文字串，其長度就為2*p[i]-1,經過觀察可知，t中所有的回文子串，其中分隔符的數量一定比其他字元的數量多1，也就是有p[i]個分隔符，剩下p[i]-1個字元來自原字串，所以該回文串在原字串中的長度就為p[i]-1。

另外，由於第乙個和最後乙個字元都是#號，且也需要搜尋回文，為了防止越界，我們還需要在首尾再加上非#號字元，實際操作時我們只需給開頭加上個非#號字元，我就直接使用美元吧$,結尾不用加的原因是字串的結尾標識為'\0'，等於預設加過了。這樣原問題就轉化成如何求陣列p[ ]的問題了。

三）如何求陣列p [ ]

從左往右計算陣列p[ ]， mi為之前取得最大回文串的中心位置，而r是最大回文串能到達的最右端的值。

1）當 i <=r時，如何計算 p[ i ]的值了？毫無疑問的是陣列p中點 i 之前點對應的值都已經計算出來了。利用回文串的特性，我們找到點 i 關於 mi 的對稱點 j ，其值為 j= 2*mi-i 。因，點 j 、i 在以mi 為中心的最大回文串的範圍內（[l ,r]），

a）那麼如果p[j]

b)如果p[ j ]>=r-i（即 j 為中心的回文串的最左端超過 l），如下圖所示。即，以點 j為中心的最大回文串的範圍已經超出了範圍[l ,r] ，這種情況，等式p[ j ]=p[ i ]還成立嗎？顯然不總是成立的！因，以點 j 為中心的回文串的最左端超過l，那麼在[ l, j ]之間的字元肯定能在( j, mi ]找到相等的，由回文串的特性可知，p[ i ] 至少等於r- i，至於是否大於r-i（圖中紅色的部分），我們還要從r+1開始一一的匹配，直達失配為止，從而更新r和對應的mi以及p[ i ]。

2）當 i > r時，如下圖。這種情況，沒法利用到回文串的特性，只能老老實實的一步步去匹配。

總體看來，manacher可以看出是中心檢測法的一種優化，我們會發現如果把這一行**刪除

if(i
else

程式也是可以執行的，但這樣是不是又變成了中心檢測法了？我認為manacher演算法的最大優點在於利用回文串對稱的性質，在處理p陣列的時候，利用指標i,j的同步性，避免了匹配失敗後的下標回退，因而將時間複雜度優化為了o(n)。

相應的**如下：

1
char
x[max];
2char s_new[max*2];3
int p[max*2];4
intinit()
516 s_new[j]='\0'
;17return
j;18}19
intmanacher()
2032
else
3336
while (s_new[i-p[i]]==s_new[i+p[i]])
3740
if(mxp[i])
4145}46
for(i=1; i)
4752}53
return
max_len;
54 }

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