對數學本質的理解和三種數學語言(自然語言，符號語言，圖形語言)的相互轉化，始終是學生學習道路上的攔路虎。比如我們知道函式\(f(x)\)是定義在\(r\)上的週期函式(非常函式)，其滿足\(f(x+4)=f(x)\)，則可知其最小正週期\(t=4\)，所以我們就只有見到\(f(x+4)=f(x)\)，才能知道\(t=4\)，即使見到\(f(x+3)=f(x-1)\)，也不知道其週期\(t=4\)；這主要源於我們對數學概念的理解太膚淺。
解釋：對週期函式而言，滿足條件\(f(x+4)=f(x)\)，即意味著對所有的\(x\in d\)都滿足，既然這樣，我們就可以給其\(x\)大膽賦值，比如\(f(1+4)=f(1)\)，\(f(2+4)=f(2)\)，\(\cdots\)，
我們自然也可以給\(x\)賦值\(x-1\)，則得到\(f(x+3)=f(x-1)\)，自然還可以得到\(f(x+2)=f(x-2)\)，\(f(x+5)=f(x+1)\)，等等如此，其實上述的這些外形不一的數學符號語言其本質是一樣的，是等價的。
問題1：由\(f(4-x)=f(x)\)能變形得到\(f(2-x)=f(2+x)\)嗎？可以；
問題2：由\(f(2-x)+f(x)=2\)能變形得到\(f(1-x)+f(1+x)=2\)嗎？可以；
$\hspace$符號語言$\hspace$自然語言
週期性的刻畫：
$①f(x+4)=f(x)$或$f(x+2)=f(x-2)\longrightarrow$
最小正週期$t=4$
$②f(x+a)=-f(x)$或$f(x+a)=\cfrac\longrightarrow$
最小正週期$t=2a$($a>0$，$k\neq 0$)
奇偶性的刻畫：
$③f(-x)=-f(x)$或$f(-x)+f(x)=0\longrightarrow$
$f(x)$是奇函式
$④f(-x)=f(x)$或$f(-x)-f(x)=0\longrightarrow$
$f(x)$是偶函式
對稱性的刻畫：
$⑤f(4-x)=f(x)$或$f(4-x)-f(x)=0\longrightarrow$
$f(x)$關於直線$x=2$對稱
$⑥f(-x)+f(x)=2$或$f(-x)=2-f(x)\longrightarrow$
$f(x)$關於點$(0，1)$對稱
$\hspace$自然語言$\hspace$符號語言
週期性的應用：
$①f(x)$的最小正週期$t=4$$\longrightarrow$
$f(x+4)=f(x)$或$f(x+3)=f(x-1)$
奇偶性的應用：
$②f(x)$是奇函式$\longrightarrow$
$f(-x)=-f(x)$或$f(-x)+f(x)=0$
$③f(x)$是偶函式$\longrightarrow$
$f(-x)=f(x)$或$f(-x)-f(x)=0$
對稱性的應用：
$④f(x)$關於直線$x=2$對稱$\longrightarrow$
$f(4-x)=f(x)$或$f(3+x)=f(1-x)$
$⑤f(x)$關於點$(2，1)$對稱$\longrightarrow$
$f(4-x)+f(x)=2$或$f(3+x)+f(1-x)=2$
思維盲點：函式的奇偶性、對稱性、週期性三個性質，只要知道其中兩個，就能推導出第三個，而第三個常常在解題中是必不可少的，故需要我們打通思維中的盲點，熟練掌握以下的變形和數學思想方法：如，已知函式\(f(x)\)是奇函式，且滿足\(f(2-x)=f(x)\)，
則由\(\begin f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end\)
\(\bigg\}\longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\longrightarrow f(2+x)=- f(x)\longrightarrow\)週期\(t=4\)
如，已知函式\(f(x)\)是奇函式，且滿足\(f(x+4)=-f(x)\)，
則由\(\begin f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end\)
\(\bigg\}\longrightarrow f(x+4)=f(-x)\longrightarrow\)對稱軸是\(x=2\)
如，已知函式\(f(x)\)的週期是\(2\)，且滿足\(f(2+x)=f(-x)\)，
則由\(\begin f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end\)
\(\bigg\}\longrightarrow f(-x)= f(x)\longrightarrow\)函式\(f(x)\)是偶函式。
引例，已知函式\(f(x)\)的影象關於點\((3,0)\)對稱，且滿足\(f(2-x)=f(x)\)，則可知函式的週期\(t=8\)；
分析：由函式\(f(x)\)的影象關於點\((3,0)\)對稱，即有\(f(x)+f(6-x)=0\)，
則由\(\begin f(x)&=f(2-x) \\ f(x)&=-f(6-x)\end\bigg\}\)
\(\longrightarrow f(2-x)=-f(6-x)\)
\(\longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]\longrightarrow f(x)=-f(4+x)\longrightarrow\)週期\(t=8\)
【2023年寶雞市二檢】【函式性質逐條給出】已知定義在\(r\)上的函式\(y=f(x)\)滿足以下條件：
①對任意的\(x\in r\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；②函式\(y=f(x+2)\)是偶函式；
③當\(x\in(0，2]\)時，\(f(x)=e^x-\cfrac\)，若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac)\)，\(c=f(\cfrac)\)，
則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關係是【 】
$a.b < a < c$ $b.c < a < b$ $c.c < b < a$ $d.a < b < c$
分析：本題目是函式各種性質綜合應用的典型題目，如果你對函式的各種性質的給出方式很熟悉，
那麼由①可知，函式滿足\(f(x+4)=f(x)\)，其週期是\(4\)；
由②可知\(y=f(x)\)的對稱軸是\(x=2\)，可以表達為\(f(x+4)=f(-x)\)，
那麼在結合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，則函式\(f(x)\)還是偶函式；
由③借助導數工具(或者增+增=增)可得，函式\(f(x)\)在區間\((0，2]\)上單調遞增，
有了以上分析得到的函式的週期性、奇偶性、單調性，就可以輕鬆的解決題目中的大小比較了。
\(a=f(-5)\xlongequalf(-1)\xlongequalf(1)\)；
\(b=f(\cfrac)\xlongequalf(\cfrac)=f(1.5)\)；
\(c=f(\cfrac)\xlongequalf(2+\cfrac)\xlongequalf(\cfrac-2)\xlongequalf(2-\cfrac)=f(1.75)\)；
或\(c=f(\cfrac)=f(2+\cfrac)=f(2+\cfrac-4)=f(-\cfrac)=f(\cfrac)=f(1.75)\)
由\(\because f(x)\)在區間\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)， \(\therefore f(1)，
即\(a，故選\(d\)。
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