\(\hspace\)有限與無限並不是乙個全新的數學思想，雖然我們開始學習的數學都是有限的教學，但其中也包含有無限的成分，只不過沒有進行深入的研究。在學習有關數及其運算的過程中，對自然數、整數、有理數、實數、複數的學習都是有限個數的運算，但實際上各數集內元素的個數都是無限的。在解析幾何中，還學習過拋物線的漸近線，已經開始有極限的思想體現在其中。數列的極限和函式的極限集中體現了有限與無限的思想。使用極限的思想解決數學問題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，採用無限分割的方法來解決，實際上是先進行有限次分割，然後再求和求極限，這是典型的有限與無限的思想的應用。
\(\hspace\)函式是對運動變化的動態事物的描述，體現了變數數學在研究客觀事物中的重要作用。導數是對事物變化快慢的一種描述，並由此可進一步處理和解決函式的增減、極大、極小、最大、最小等實際問題，是研究客觀事物變化率和最優化問題的有力工具。
\(\hspace\)高考中對有限與無限思想的考查才剛剛起步，並且往往是在考查其他數學思想和方法的過程中同時考查有限與無限思想。例如，在使用由特殊到一般的歸納思維時，含有有限與無限的思想；在使用數學歸納法證明時，解決的是無限的問題，體現的是有限與無限的思想，等等。隨著對新增內容的考查的逐步深入，必將加強對有限與無限的思想的考查，設計出突出體現有限與無限思想的新穎試題。
【2023年寶雞市二檢第10題】有限與無限轉化是數學中的一種重要的思想方法。如在《九章算術》方田章圓田術（劉徽注）中：「割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」說明「割圓術」是一種無限與有限的轉化過程，再如\(\sqrt}}\)中「\(\cdots\)」即代表無限次重複，但原式卻是個定值\(x\)，這可以通過方程\(\sqrt=x\)確定出來\(x=2\)，類似地可以把迴圈小數化為分數，把\(0.\dot\dot\)化為分數的結果是______.
①圓內接正多邊形動態課件演示圖
解讀分析：當圓內接正多邊形的邊數越來越多時，圓內接正多邊形趨近於圓。當邊數趨於正無窮大時，則圓內接正多邊形就變成了圓。
②求解無理方程。令\(\sqrt}=x\)，則原式可寫成\(\sqrt}}=x\)，通過方程\(\sqrt=x\)確定出來\(x=2\)。
③本題的其他兩種常用的求解思路：
【思路1】：利用無窮遞縮等比數列的前\(n\)項和計算。
分析如下：\(0.\dot\dot=0.36+0.0036+0.000036+\cdots=36(0.01+0.0001+0.000001+\cdots)\)
\(=36\times\cfrac)}\xlongequal36\times \cfrac\)
\(=\cfrac=\cfrac\)
【思路2】：利用整體思想代換處理。
\(0.\dot\dot\times 100=36.\dot\dot\)，上式兩邊同時減去\(0.\dot\dot\)，
得到\(0.\dot\dot\times 100 -0.\dot\dot =36.\dot\dot - 0.\dot\dot\)，
即\(99\times 0.\dot\dot=36\)，故\(0.\dot\dot=\cfrac=\cfrac\)
【2018安徽江淮十校聯考】有限與無限轉化是數學中的一種重要的思想方法。如在《九章算術》方田章圓田術(劉徽注)中：「割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」說明「割圓術」是一種無限與有限的轉化過程，再如\(\sqrt}}\)中「\(\cdots\)」即代表無限次重複，但原式卻是個定值\(x\)，這可以通過方程\(\sqrt=x\)確定出來\(x=2\)，則\(1+\cfrac}\)=【】
$a.\cfrac-1}$ $b.\cfrac-1}$ $c.\cfrac}$ $d.\cfrac}$
分析：令\(1+\cfrac}=x\)，則左式的分母也就是\(x\)，即原式可以改寫為\(1+\cfrac=x\)，
即\(x^2-x-1=0\)，解得\(x=\cfrac}\)，其中\(x=\cfrac}\)捨去，原因是由表示式可知必有\(x>0\)。
故\(1+\cfrac}=\cfrac}\)，故選\(c\)。
**證偽：上述的解法是現有常見題庫中的常見解法，但我們認為有漏洞，不應該捨去負值，以下嘗試利用軟體從形上作以解釋；
首先定義原函式[零次迭代]為\(f(x)=1+\cfrac\)，
則一次迭代\(f(f(x))=1+\cfrac=1+\cfrac}\)，
二次迭代\(f(f(f(x)))=1+\cfrac=1+\cfrac}=1+\cfrac}}\)，
三次迭代\(f(f(f(f(x))))=1+\cfrac\)
\(=1+\cfrac}\)
\(=1+\cfrac}}}\)，
依此類推，\(\cdots\)，直到無限次迭代，觀察下圖可以看出，
當迭代的次數為偶數次時，函式的影象出現在第ⅰ、ⅱ、ⅲ三個象限內，影象關於直線\(y=-x+1\)對稱；
當迭代的次數為奇數次時，函式的影象出現在第ⅰ、ⅱ、ⅲ三個象限內，影象關於直線\(y=-x+1\)對稱；
總的來說，函式的任何次迭代的影象都是關於直線\(y=-x+1\)對稱；並且這些函式都經過公共點\((\cfrac+1},\cfrac+1})\)和\((\cfrac},\cfrac})\)，
當我們做出函式\(y=x\)的影象時，很顯然函式\(y=x\)和任何次的迭代結果的函式影象始終有兩個交點，
其一為\((\cfrac+1},\cfrac+1})\)，其二為\((\cfrac},\cfrac})\)，
故\(x=\cfrac+1}\)或者\(x=\cfrac}\)應該都滿足題意；
即兩個值都是滿足題意的，故選項\(c\)，\(d\)都滿足。
【無窮遞縮等比數列求和】求值：\(s=\cfrac+\cfrac+\cfrac+\cdots+\cfrac+\cdots\)。
分析：\(s=\cfrac\cdot[1-(\cfrac)^n]}}=1-(\cfrac)^n\)；當\(n\rightarrow +\infty\)時，\(s=1\)。
對應的圖形說明如下，下圖是邊長為\(1\)的正方形，其面積為\(1\)，各種顏色的矩形的面積之和為\(1\)。
【同類提公升】有限與無限轉化是數學中的一種重要的思想方法。如在《九章算術》方田章圓田術（劉徽注）中：「割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」說明「割圓術」是一種無限與有限的轉化過程，再如\(\sqrt}}\)中「\(\cdots\)」即代表無限次重複，但原式卻是個定值\(x\)，這可以通過方程\(\sqrt=x\)確定出來\(x=2\)，類似的可以得到，\(1+\cfrac+\cfrac+\cfrac+\cdots+\cfrac}+\cdots\)=_____________。
分析：利用模擬思想，令\(1+\cfrac+\cfrac+\cfrac+\cdots+\cfrac}+\cdots=x\)，
則由\(1+\cfrac=x\)，解得\(x=\cfrac\)；
即\(1+\cfrac+\cfrac+\cfrac+\cdots+\cfrac}+\cdots=\cfrac\)，
【同類提公升】有限與無限轉化是數學中的一種重要的思想方法。如在《九章算術》方田章圓田術（劉徽注）中：「割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」說明「割圓術」是一種無限與有限的轉化過程，再如\(\sqrt}}\)中「\(\cdots\)」即代表無限次重複，但原式卻是個定值\(x\)，這可以通過方程\(\sqrt=x\)確定出來\(x=2\)，類似的可以得到，\(\sqrt}}\)=_____________。
分析：令\(\sqrt}}=m(m>0)\)，則兩邊平方得到\(3+\sqrt}}=m^2\)，
即\(3+m=m^2\)，解得\(m=\cfrac}\)，或\(m=\cfrac}\)(捨去)，
故\(\sqrt}}=\cfrac}\).
【同類提公升】有限與無限轉化是數學中的一種重要的思想方法。如在《九章算術》方田章圓田術（劉徽注）中：「割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」說明「割圓術」是一種無限與有限的轉化過程，再如\(\sqrt}}\)中「\(\cdots\)」即代表無限次重複，但原式卻是個定值\(x\)，這可以通過方程\(\sqrt=x\)確定出來\(x=2\)，類似的可以得到，\(\sqrt}}}\)=_____________。
分析：令\(\sqrt}}}=m(m>0)\)，則由題可知，\(\sqrt=m\)，
兩邊平方得到，\(2m=m^2\)，解得\(m=2\)，或\(m=0\)(捨去)，
故\(\sqrt}}}=2\).
【同類提公升】有限與無限轉化是數學中的一種重要的思想方法。如在《九章算術》方田章圓田術（劉徽注）中：「割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」說明「割圓術」是一種無限與有限的轉化過程，再如\(\sqrt}}\)中「\(\cdots\)」即代表無限次重複，但原式卻是個定值\(x\)，這可以通過方程\(\sqrt=x\)確定出來\(x=2\)，類似的可以得到，\(2-\cfrac}}\)=_____________。
分析：令\(2-\cfrac}}=t(t>0)\)，則由題可知，\(2-\cfrac=t\)，
變形整理得到，\((t-1)^2=0\)，解得\(t=1\)，故\(2-\cfrac}}=1\).
有限與無限
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這是一本哲學方面的書1 以 遊戲 為主線，講解了世界 時間 社會 文化 權力 語言 性 疾病 死亡 戰爭 自然 機器 宗教 神話等重要主題。在哲學家眼中，遊戲是乙個沒有感 彩的詞，任何乙個有限或無限的過程都可以看做是遊戲。所以，人生是遊戲，愛情也是遊戲，不同的只是遊戲參與者的 遊戲觀 今天把這本書讀...