n堆石子，每個人每次對著一堆拿若干個。不能拿者判輸。
只有兩種情況，先手必勝，先手必敗。
先手必勝當且僅當:a1^a2^...^an!=0
證明：設=x（x不為0），選擇最高位和x一樣的ai，顯然有ai^x階梯型nim遊戲：高度單調的階梯。每次只能把a[i]中選擇x個，放到a[i-1]中，或者把a[1]中扔掉若干個。問有無先手必勝策略。
等價於對奇數堆做nim遊戲。
第一次先手，就把奇數堆按照必勝策略移動。偶數堆不管，當做垃圾桶。
如果後手移動奇數堆到偶數堆，就按照奇數堆必勝策略移動。
反之，就把後手移動過來x的奇數堆再往前移動x個。對於奇數堆的狀態不變。早晚會把偶數堆移動完。
所以，等價。
有 n 堆石子，每次可從一堆石子中拿走任意數量的石子。
兩個人輪流拿，誰不能拿誰贏。
上面的必勝和必敗都是基於「無法操作者敗」這個規則來解釋的。
若某組合遊戲的勝利條件是「無法操作者勝」的話，必勝態必須滿足二者之一：
sg異或和》0且石子數》1的堆數》0
sg異或和=0且石子數》1的堆數=0
證明。。。
有 n 堆石子，每次可從 k 堆石子中拿走任意數量的石子。
兩個人輪流拿，誰不能拿誰輸。
證明：數學歸納法
1.沒有石子的時候，一定全部為0
2.如果當前全部為0，最多某一位1的個數變化k個，一定不會全部為0
3.如果當前不全為0，從高位開始往低位找，
如果某一位1的個數為b，之前已經動過的堆數為c，先用c個動過的堆來調整，讓b變成0或者k+1，不夠用，就從剩下的b的堆把1刪去（大概就是先都往0湊，加上新選擇的堆還不行的話，那麼一定可以直接湊出k+1，直接用c個原來的堆往k+1湊）
刪去1的堆一定已經取走，所以後面就可以隨便0->1或者1->0了，加入那c個。如果能操作k個，那麼一定可以隨心所欲了。
證畢。小例題：
兩人之間的距離就是石子數量。都撞上了以後，誰撤，對面立刻懟上去。
數論學習筆記 NIM遊戲
博弈論的內容。遊戲規則 地上有n堆石子，每人每次可從任意一堆石子裡取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能從一堆裡取。最後沒石子可取的人就輸了。先手是先操作的人。定理 先手必勝 當且僅當 a1 xor a2 xor a3 0。證明 當所有物品都取光。明顯為a1 xor a2 xor a3 ...
nim遊戲簡介
定義p position和n position，其中p代表previous，n代表next。直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是p position，也就是 後手可保證必勝 或者 先手必敗 現在輪到move的人有必勝策略的局面是n position，也就是 先手可保證必勝 更嚴謹的定義是 ...
博弈 Nim遊戲
nim遊戲是博弈論中最經典的模型，它又有著十分簡單的規則和無比優美的結論。nim遊戲是組合遊戲 combinatorial games 的一種，準確來說，屬於 impartial combinatorial games 以下簡稱icg 滿足以下條件的遊戲是icg 可能不太嚴謹 1 有兩名選手 2 兩...