整係數多項式的有理根的乙個性質

2022-02-09 22:30:58 字數 440 閱讀 8258

設\begin

f(x)=a_nx^n+a_x^+\cdots+a_0

\end

是乙個整係數多項式,$r$是它的乙個有理根.當$r\neq 0$時,設$r=\frac$.其中$p,q$互質.

\begin

f(\frac)=a_n \frac+a_ \frac}}+\cdots+a_1\frac+a_0=0

\end

則\begin

a_n \frac+a_p^q^0+\cdots+a_1q^+a_0q^=0

\end

可見,$a_n\frac$是整數.由於$(p^n,q)=1$,可見,$q|a_n$.然後我們看

\begin

a_0q^=-(a_n \frac+a_p^q^0+\cdots+a_1q^)

\end

從這裡容易得出$p|a_0$(怎麼得出?).

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