\begin
\int_^f(x)dx=\frac[f(x_0)+f(x_1)]-\fracf''(\xi)
\end,其中$h=x_1-x_0$,$x_0=a,x_1=b$.且$f(x)$在$(a,b)$二階可導，且在$[a,b]$上一階導函式連續.
證明:這是梯形法則.我們對$f(x)$進行牛頓插值.設立插值點
\begin
x_0,x_1
\end
則牛頓插值多項式為
\begin
f(x_0)+(x-x_0)f[x_0,x_1]
\end
插值餘項是
\begin
(x-x_0)(x-x_1)\frac
\end
即\begin
f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f[x_0,x_1]+(x-x_0)(x-x_1) \frac
\end
於是\begin
\int_a^bf(x)dx&=\int_a^b\left(f(x_0)+(x-x_0)f[x_0,x_1]+(x-x_0)(x-x_1)
\frac\right)dx\\
&=hf(x_0)+(\frach^2f[x_0,x_1])+\int_a^b(x-x_0)(x-x_1) \fracdx
\end
\begin
hf(x_0)+\frach^2 \frac=\frach(f(x_1)+f(x_0))
\end
下面我證明
\begin
\int_a^b(x-a)(x-b) \fracdx=-\fracf''(\xi)
\end
易知\begin
\int_a^b(x-a)(x-b)dx&=[\fracb^3-\frac(a+b)b^2+ab^2]-[\fraca^3-\frac(a+b)a^2+a^2b]\\&=(\fracab^2-\fracb^3)-(\fracba^2-\fraca^3)\\&=\fracab(b-a)-\frac(b-a)(b^2+a^2+ab)\\&=\frac(b-a)(3ab-ab-a^2-b^2)\\&=-\frac(b-a)(b-a)^2\\&=-\frach^3
\end
可見梯形法則得證(注意這裡隱含地用到了加權型的積分中值定理).
注1:另一種做法如下:\begin
\int_^f(x)dx=\frac[f(x_0)+f(x_1)]-\fracf''(\xi) \end
其中$h=x_1-x_0,x_0=a,x_1=b$.且$f(x)$在$(a,b)$二階可導，且在$[a,b]$上
一階導函式連續.
前面主體部分是簡單的，關鍵是餘項部分.我們要證明
\begin \int_a^b(x-a)(x-b)
f[x,x_0,x_1]dx=-\fracf''(\xi) \end
令\begin
g(t)=\int_^t(x-a)(x-b)f[x,x_0,x_1]dx
\end
則$g(x_0)=0$,根據微積分第一基本定理，
\begin
g'(x_0)=g'(x_1)=0
\end
我們設立插值點
\begin
x_0,x_0',x_1,x_1'
\end
經過這四個插值點的牛頓插值公式為
\begin
g(x_0)+(x-x_0)g[x_0,x_0']+(x-x_0)(x-x_0')g[x_0,x_0',x_1]+(x-x_0)(x-x_0')(x-x_1)g[x_0,x_0',x_1,x_1']
\end
令\begin
x_0'\to x_0,x_1'\to x_1
\end
可得相應的hermite插值多項式為
\begin
q(x)= g(x_0)+(x-x_0)g[x_0,x_0]+(x-x_0)^2g[x_0,x_0,x_1]+(x-x_0)^2(x-x_1)g[x_0,x_0,x_1,x_1]
\end
令\begin
k(x)=g(x)-q(x)
\end
可得\begin
k'(x_0)=k'(x_1)=k(x_0)=k(x_1)=0
\end
使用若干次rolle定理可得
\begin
k'''(\xi)=0
\end
即\begin
g'''(\xi)=3!g[x_0,x_0,x_1,x_1]
\end
而\begin
g'''(\xi)=f''(\xi)
\end
因此\begin
f''(\xi)=3!\frac
\end,
可見，\begin
f''(\xi)=\frac
\end
可見，\begin
g(x_1)=\fracf''(\xi)
\end
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