求$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$所有的根以及重根的階.
解答:這道題的解決有賴於如下的結論:
1.不可約多項式$p(x)$是$f(x)$的重因式的充分必要條件是$p(x)$是$f(x)$和$f'(x)$的公因式.該結論的證明是簡單的.
因此如果$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$有實數根$\alpha$的話當且僅當不可約多項式$x-a$為多項式$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$和$4x^3+9x^2-6x-11$的公因式.利用輾轉相除法，易得$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$和$4x^3+9x^2-6x-11$的最大公因式為$x+1$.(我不是用輾轉相除法算的，我借助的是wolfram alpha,偷了個懶:)可見$x+1$至少是$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$的二重根.$x+1$的重數可能會更高，因此我要繼續驗證下去.我來看看
\begin
12x^2+18x-6
\end是否整除$x+1$.答案是否!因此$x+1$是$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$的二重根.再用試根法容易得出$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$的另外兩個單根為-3和2,因此
求$f(x)=x^6+2x^5-8x^4-14x^3+11x^2+28x+12=0$的所有的根以及重根的階.$x^4+3x^3-3x^2-11x-6$的所有實數根為-1,-3,2，-1重根的階為3.-3,2的重根階數為1.
解答:我們來看$f(x)$和$f'(x)$的最大公因式.根據輾轉相除法可得最大公因式為1，因此$f(x)$若有實數根,則實數根的重根階數至多為1.用試根法容易算出三個根分別為-3，-1，2.
代數學教程
代數學教程 基本資訊 譯者 王耀東 出版社 高等教育出版社 isbn 9787040287578 出版日期 2013 年7月 開本 16開 頁碼 586 版次 1 1 所屬分類 數學 代數，數論及組合理論 綜合 更多關於 代數學教程 內容簡介 數學書籍 代數學教程 被譽為法國最好的代數學的教科書，或...
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