KMP演算法求最小覆蓋子串

kmp與最小覆蓋子串

最小覆蓋子串：對於某個字串s，它的最小覆蓋子串指的是長度最小的子串p，p滿足通過自身的多次連線得到q，最後能夠使s成為q的子串。

比如：對於s="abcab"，它的最小覆蓋子串p="abc"，因為p通過在它後面再接上乙個p（即重疊0個字元），可以得到q="abcabc"，此時s是q的子串。

對於s="ababab"，它的最小覆蓋子串為p="ab"。

根據kmp演算法的next陣列的定義，設字串s的長度為n，則next[n] = next[n - 1]，n-1為s的最後一位。

next[n]表明s[0,1,2,...,next[n]-1] == s[n-next[n],...,n-1]，設這兩段分別為s1和s2。

若s1和s2的長度之和小於s的長度，則說明s1和s2分別為不重疊的字首和字尾，則最小覆蓋子串必為s截去s2之後得到的字首。

若s1和s2的長度之和大於等於s的長度，則最小覆蓋子串也必為s截去s2之後得到的字首。

以上兩種情況都可以推出這個結論：最小覆蓋子串是s的字首，它的長度為n-next[n]。

我對kmp的一些理解（lyp點撥的）：pre[i]（或next[i]）的實質是串str[1..i]的最長且小於i的「相等前、字尾」分別為str[1..pre[i]]（字首）與str[(i-pre[i]+1)..i]（字尾），通俗講就是：使str[1..i]前k個字母與後k個字母相等的最大k值。

kmp演算法詳解可見：

另外乙個結論：

最小覆蓋子串（串尾多一小段時，用字首覆蓋）長度為n-next[n]（n-pre[n]），n為串長。

證明分兩部分：

１－長為n-next[n]的字首必為覆蓋子串。

當next[n]

當next[n]>n-next[n]時，如圖b，將原串x向後移n-next[n]個單位得到y串，根據next的定義，知長為next[n]的字尾串a與長為字首串b相等，x串中的長為n-next[n]的字首c與y串中的字首d相等，而x串中的串e又與y串中的d相等……可見x串中的長為n-next[n]的字首c可覆蓋全串。

２－長為n-next[n]的字首是最短的。

如圖c，串a是長為n-next[n]的字首，串b是長為next[n]的字尾，假設存在長度小於n-next[n]的字首c能覆蓋全串，則將原串x截去前面一段c，得到新串ｙ，則ｙ必與原串長度大於next[n]的字首相等，與next陣列的定義（使str[1..i]前k個字母與後k個字母相等的最大k值。）矛盾。得證！有人問，為什麼ｙ與原串長大於next[n]的字首相等？由假設知原串的構成必為ccc……e（e為c的字首），串ｙ的構成必為cc……e（比原串少乙個ｃ），懂了吧！

最後得出結論：總長度-next[n].

code：

//
memory time
//1347k 0ms
//by : snarl_jsb
#include#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define n 1000010
#define ll long long
using
namespace
std;
string
str;
vector
next;
void
getnext()
}int
main()
cout<
最小覆蓋子串為：
"<1]<
}return0;
}

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演算法 最小覆蓋子串

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