在資料結構中，最經典的演算法/問題是：floyd 演算法（最短路徑）、哈夫曼編碼和 fibonacci（斐波那契數列），揹包問題等等。但當時，這些經典僅僅是描述了乙個問題的解決方法，沒有對整個這類問題更深入的闡述。
而事實上，隨著對問題理解深入，發現這些演算法和問題都包含了「動態規劃」的思想。在此思想基礎上，對這些演算法和問題可以進行重大改進——演算法更簡單、時間複雜度更小。
「動態規劃（dynamic programming，dp）」對每個子問題只求解一次，將其結果儲存在一張表中，從而避免每次遇到各個子問題時重新計算。「programming」是指一種規劃，在這裡以及線性規劃中，都是指使用一種**化的解法，而不是指寫計算機**。
下面用 c# 演示斐波那契數列的一般遞迴演算法，以及利用「動態規劃」思想的改進演算法。
namespace fibonacci
;
staticvoid main(string args)
///
/// 時間複雜度 o(n!)
///
///
///
staticint fibonacci(int n)
///
/// 時間複雜度 o(n)
///
///
///
///
staticint fibonacci_dp(int n, ref
int m)
}
}
其中，fibonacci方法是斐波那契數列一般的遞迴演算法。而fibonacci_dp方法是利用「動態規劃」思想的演算法。
從時間複雜度上看，一般的遞迴演算法是o(n!)，呈指數級增長。而採用「動態規劃」思想的演算法只有o(n)。當n=5時，fibonacci(5)的計算過程如下：
fib(4) + fib(3)
(fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))
((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))
(((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))可以看出，這個遞迴演算法，對每個子問題都要重新計算。而實際上，若利用「動態規劃」思想這是沒必要的。對於已經計算完的子問題，下次再遇到直接使用。將已經計算的結果儲存在陣列m中，在後面直接使用，避免重複計算。
在實際開發中，了解一些演算法方面的知識，往往很有必要。能夠分析自己的演算法，比如你的演算法在何種輸入規模，效率是較高的。
個人覺得，在開發 erp 系統時，會涉及很多演算法。最近寫乙個關於改變工廠生產過程中變更加工工藝（客戶稱為「工藝再造」）的遞迴演算法，猛然發現，滿複雜的。當時有點驚訝。之前，除了上學時《資料結構》裡的經典演算法和典型問題外，思考得並不多。
下面是大概說明一下「動態規劃」思想。
採用「動態規劃」方法解決最優化問題中的兩個要素：最優子結構和重疊子問題。
最優子結構。子問題的最優解是問題的乙個最優解。當乙個問題具有最優子結構時，提示我們動態規劃可能會適用。
子問題重疊。用來解原問題的遞迴演算法可反覆地解同樣的子問題，而不是總在產生新的子問題。
動態規劃思想可分為如下 4 個步驟：
描述最優解的結構。
遞迴定義最優解的值。
按自底向上的方式計算最優解的值。
由計算出的結果構造乙個最優解。
第 1~3 步構成問題的動態規劃解的基礎。第4步在只要求計算最優解的值時可以略去。如果的確要做第 4 步，則有時要在第 3 步的計算中記錄一些附加資訊，使構造乙個最優解變得容易。
「動態規劃」是運籌學的乙個分支，是求解決策過程（decision process）最優化的數學方法。20 世紀 50 年代初，美國數學家 r.e.bellman 等人在研究多階段決策過程（multistep decision process）的優化問題時，提出了著名的最優化原理（principle of optimality），把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關係，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法——動態規劃。1957 年出版了他的名著《dynamic programming》，這是該領域的第一本著作。
動態規劃在經濟管理、生產排程、工程技術和最優控制等方面得到了廣泛的應用。
雖然，動態規劃主要用於求解以時間劃分階段的動態過程的優化問題，但一些與時間無關的靜態規劃，如線性/非線性規劃，只要人為地引進時間因素，視為多階段決策過程，也可以用動態規劃方法求解。
動態規劃方法是解最優化問題的一種途徑和方法，而不是乙個特定演算法。針對一種最優化問題，由於各種問題的性質不同，往往確定最優解的條件也不相同。也就不存在一種萬能的動態規劃演算法。因此，必須具體問題具體分析處理，以豐富的想象力去建立模型，用創造性的技巧去求解。
動態規劃 Fibonacci數列
概要 斐波那契數列 fibonacci sequence 又稱 分割數列 因數學家列昂納多 斐波那契 leonardoda fibonacci 以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為 兔子數列 指的是這樣乙個數列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 在數學上，斐波那契數列以如下被以遞推的方法定義 f...
Fibonacci數列（動態規劃相關）
問題描述 fibonacci數列的遞推公式為 fn fn 1 fn 2，其中f1 f2 1。當n比較大時，fn也非常大，現在我們想知道，fn除以10007的餘數是多少。輸入格式 輸入包含乙個整數n。輸出格式 輸出一行，包含乙個整數，表示fn除以10007的餘數。樣例輸入 10樣例輸出 55樣例輸入 ...
計算Fibonacci數列
上機內容 用動態分配空間的方法計算fibonacci數列的前30項並儲存到動態分配的空間中 上機目的 學習fibonacci數列演算法 我的程式 includeusing namespace std void main int p new int 30 p 1 p 1 1 cout p p 2 fo...