jzoj 3521 道路覆蓋 cover

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tar把一段凹凸不平的路分成了高度不同的n段，並用h[i]表示第i段高度。現在tar一共有n種泥土可用，它們都能覆蓋給定的連續的k個部分。對於第i種泥土，它的**為c[i]，可以使得區間[i,min(n,i+k-1)] 的路段的高度增加e[i]。tar要設定一種泥土使用計畫，使得使用若干泥土後，這條路最低的高度盡量高，並且這個計畫必須滿足以下兩點要求：

（1）每種泥土只能使用一次。

（2）泥土使用成本必須小於等於m。

請求出這個最低的高度最高是多少。

solution

30分

事實上，資料是允許拿到90分的，我們直接跑一次遞迴就可以了，記錄最低值的最高值

100分

這個的狀壓dp很巧妙，從來沒做過這種不需要存所有狀態的狀壓dp

從「最低的高度最高」就可以看出，這道題是用二分的，正解就是二分答案。

從而，我們就把這道題目變為一道判定性的問題，給出乙個mid，問你是否符合上面的題意。

普通方法使用遞迴判斷可行性

既然可以用遞迴，那麼顯然可以用動態規劃。

我們設f[i,s]表示你當前想選第i種泥土，前面k種的狀態（包括i）是什麼，用二進位制表示,，0表示在那個位置沒用了泥土，1表示用了。（用沒用表示從他開始往後鋪，專屬於他的泥土）一定要看下面第二個圖

我們用當前f[i,s]去更新f[i+1,s1]

關鍵是我們怎麼轉移。

對於每一種泥土，只有選和不選兩種狀態，那麼我們只要考慮這兩種情況就可以了

在此之前，我們先看乙個東西

注意，我們這裡是用i，更新i+1

讀圖可以發現，對i+1有影響的只有從i前k-1個（包括i）

可以發現，只有i包括i的前k-1個對i+1是有影響的。

因為你選到i時，狀態是s，那麼，如果從i更新到i+1，狀態就是s去掉最後一位，也就是(s>>1)，其實就是s/2

我們統計s狀態中，有哪個地方是選了泥土的，然後記錄一下，他們一共會讓i+1這個位置的土地高多少，設這個數為num，要多看圖，多寫草稿

為什麼呢，因為前面的加了對應的e陣列的某乙個值，又因為它會影響到當前這個位置，看上圖，所以，我們要看看，他們究竟影響到i+1這個位置增加多少值，所以我們要提前記錄下來

其中s是列舉的！列舉的！列舉的！

①不選如果不選，那麼num+h[i]必定是大於等於mid的，這樣才符合題目要求，如果不懂反覆讀上面的那句話，看看我畫出來精美的圖，就知道了。不懂都會懂

滿足的上面的情況，我們就可以轉移了

f[i+1,s>>1]:=min(f[i+1,s>>1]，f[i,s])　

②選如果選，就要滿足num+h[i]+e[i]是大於等於mid的，同理也是上面所說

那麼當前的位置s狀態中i+1的位置應該是1，所以，我們就是要更新新的s

f[i+1,s>>1 or 1 shl (k-1)]:=min(f[i+1,s>>1 or 1 shl (k-1)]，f[i,j]+c[i]);

最後答案的判斷就是判斷有沒有乙個被更改過值得f[n,i](i是狀態)是小於等於m的，因為在前面的操作中，都保證了更新過的f陣列是符合題目要求的

這道題充分的體現了動態規劃的屌

code

uses math;
varn,m,k,i,j,l,r,mid:longint;
a,b,c:
array[0..100] of
longint;
f:array[0..100,0..2047] of
longint;
function
pd(x:longint):boolean;
vari,j,jj,num:longint;
begin
fillchar(f,sizeof(f),
255);
f[0,0]:=0
; 
for i:=0
to n-1
dobegin
for j:=0
to1 shl k-1
doif f[i,j]<>-1
then
begin
num:=0
; 
for jj:=k-1
downto1do
if (1 shl(jj)) and j<>0
then
inc(num,b[i-(k-jj-1
)]);
if num+a[i+1]>=x then
if f[i+1,j shr 1]<>-1
then
f[i+1,j shr 1]:=min(f[i+1,j shr 1
],f[i,j])
else
f[i+1,j shr 1]:=f[i,j];
if num+a[i+1]+b[i+1]>=x then
if f[i+1,j shr 1+1 shl (k-1)]<>-1
then
f[i+1,j shr 1+1 shl (k-1)]:=min(f[i+1,j shr 1+1 shl (k-1)],f[i,j]+c[i+1
]) 
else
f[i+1,j shr 1+1 shl (k-1)]:=f[i,j]+c[i+1
]; 
end;
end;
for i:=0
to1 shl k-1
doif f[n,i]<>-1
then
if f[n,i]<=m then
exit(true);
exit(false);
end;
begin
assign(input,
'cover.in
');reset(input);
assign(output,
'cover.out
');rewrite(output);
readln(n,m,k);
for i:=1
to n do
readln(a[i],b[i],c[i]);
l:=1
; r:=maxlongint-1
; 
while l<=r do
begin
mid:=(l+r) shr 1
; 
if pd(mid) then
l:=mid+1
else
r:=mid-1
; 
end;
writeln(l-1
);end.

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