線性代數中的乙個核心思想就是矩陣分解，既將乙個複雜的矩陣分解為更簡單的矩陣的乘積。常見的有如下分解：
lu分解：a=lu，a是m×n矩陣，l是m×m下三角矩陣，u是m×n階梯形矩陣
qr分解:
秩分解:a=cd , a是m×n矩陣，c是m×4矩陣，d是4×n矩陣。
奇異值分解：a=udvt
譜分解：
在求解線性方程組中，乙個核心的問題就是矩陣的lu分解，我們將乙個矩陣a分解為兩個更加簡單的矩陣的復合lu，其中l是下三角矩陣，u是階梯形矩陣。下三角矩陣和上三角矩陣具有非常良好的性質：lx=y 或者ux=y 很容易求解。
定理：如果a行等價於階梯形矩陣u，那麼(enen-1......e1)a=u，其中的ei，i=1,2,.....,n是高斯消去矩陣，他們都是下三角矩陣，並且都可逆。
這個定理告訴我們三件事：
1.並不是所有的矩陣都有lu分解的。
2.a=lu=(enen-1......e1)-1u=(e1-1
e2-1
.....en-1
)u。3.這個定理還給出了求解矩陣a-1的一種方法。
用gauss消去法將矩陣a行變換為u：
用gauss消去矩陣將a行變換為u:
過程和gauss-jardon基本一致，之不多在選擇完最大元之後，將其化為1，這樣就可以通過乘以乙個倍數來消去其他行了。
當對某一列進行gauss消去時，一般都是選擇這一列中絕對值最大的乙個元素作為主元，當然這會進行行交換。其好處有一下幾點：
1.在gauss會代的過程中，不會出現除數為0的情況。
2.減少誤差傳播，這主要是因為乘數小於等於1.
(為何乘數小於等於1，如果選擇這一列中絕對值最大的乙個元素作為主元,我們假設這個元素是a，那麼乘數等於-b/a，此時|b/a|<=1)。
為什麼不用絕對值最小的元素做主元？易知此時乘數的絕對值大於等於1,會增加誤差的傳播累計。
為什麼應該避免用接近於0的數做主元？此時乘數可能非常大，參加如下例子：
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