已知某點的應力張量為：
\[\left[
\begin
\sigma_ &\tau_ &\tau_\\
\tau_ &\sigma_ &\tau_\\
\tau_ &\tau_ &\sigma_
\end
\right]
=\left[
\begin
0 &1 &2\\
1 & \sigma_ & 1\\
2 &1 &0
\end
\right]
\]並已知經過該點的某一平面上的應力向量為零向量，求 \(\sigma_y\) 和主應力？
由題意，存在某個微分面（單位法向量為 \(\boldsymbol\)），其上的應力向量 \(\boldsymbol=\boldsymbol\)，即
\[\boldsymbol=\boldsymbol\cdot\boldsymbol=
\left[\begin
0 & 1 & 2\\
1 & \sigma_ & 1\\
2 & 1 & 0
\end
\right]
\left[
\begin
n_1\\
n_2\\
n_3\end
\right]
=\left[
\begin
0\\0\\
0\end
\right]
\]線性方程組存在非零解，必然行列式為零，即
\[\left|\begin
0 & 1 & 2\\
1 & \sigma_ & 1\\
2 & 1 & 0
\end
\right|
= 0 + 2 + 2 -4\sigma_y - 0 - 0
= 0\]
求得 \(\sigma_y = 1\)。
於是，應力張量為
\[\left[
\begin
\sigma_ & \tau_ & \tau_\\
\tau_ & \sigma_ & \tau_\\
\tau_ & \tau_ & \sigma_
\end
\right]
=\left[
\begin
0 & 1 & 2\\
1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 0
\end
\right]
\]求主應力，即為求應力張量的特徵值。
\[\left|\,\boldsymbol-\sigma\boldsymbol \,\right| = 0\]或
\[\left|
\begin
-\sigma & 1 & 2\\
1 & 1-\sigma & 1\\
2 & 1 & -\sigma
\end
\right|
=(1-\sigma)\sigma^2 + 2 + 2 - 4(1-\sigma) + \sigma + \sigma = 0
\]整理得
\[-\sigma^3 + \sigma^2 + 6\sigma = -\sigma(\sigma-3)(\sigma+2) = 0
\]主應力
得到三個主應力分別為
\[\left\
\sigma_1 & = & 3\\
\sigma_2 & = & 0\\
\sigma_3 & = & -2
\end
\right.
\]
from sympy import init_printing, matrixinit_printing(use_unicode=true)# 生成矩陣物件
sigma = matrix([[0, 1, 2], [1, 1, 1], [2, 1, 0]])
sigma
\[\left[\begin0 & 1 & 2\\1 & 1 & 1\\2 & 1 & 0\end\right]
\]\[\left\
\sigma_1 & = & 3\\
\sigma_2 & = & 0\\
\sigma_3 & = & -2
\end
\right.
\]
sigma.eigenvals() # 求特徵值\[\left \
\]
sigma.eigenvects()\[\left [ \left ( -2, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin-1\\0\\1\end\right]\right ]\right ), \quad \left ( 0, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin1\\-2\\1\end\right]\right ]\right ), \quad \left ( 3, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin1\\1\\1\end\right]\right ]\right )\right ]
\]
Python3之彈性力學 應力張量2
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