已知某應力張量的分量為
\[\sigma_=3,\quad\sigma_ = \sigma_ = 1, \quad \sigma_ = \sigma_ = 0, \quad\sigma_ = 2\]求
1、全部主應力
2、最大主應力對應的主方向
3、求方向向量為 $\boldsymbol = \left(0, \dfrac}, \dfrac}\right)$ 的斜面上的正應力 $\sigma_n$ 和剪應力 $\tau_n$。
應力張量
已知應力張量有如下形式
\[\left[
\begin
\sigma_ & \tau_ & \tau_\\
\tau_ & \sigma_ & \tau_\\
\tau_ & \tau_ & \sigma_
\end
\right]
=\left[
\begin
3 & 1 & 1\\
1 & 0 & 2\\
1 & 2 & 0
\end
\right]
\]
from sympy import *
init_printing(use_unicode=true)
sigma = matrix([[3, 1, 1], [1, 0, 2], [1, 2, 0]])
sigma
\[\left[\begin3 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\\1 & 2 & 0\end\right]
\]求特徵值
sigma.eigenvals()\[\left \
\]求特徵向量
sigma.eigenvects()\[\left [ \left ( -2, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin0\\-1\\1\end\right]\right ]\right ), \quad \left ( 1, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin-1\\1\\1\end\right]\right ]\right ), \quad \left ( 4, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin2\\1\\1\end\right]\right ]\right )\right ]
\]最大主應力
\[\sigma_1 = 4
\]最大主應力對應的主方向
\[\dfrac}\left(2, 1, 1\right)
\]方向向量
\[\boldsymbol = \left(0, \dfrac}, \dfrac}\right)
\]
n = matrix([[0], [1], [1]])/sqrt(2)
n
\[\left[\begin0\\\frac}\\\frac}\end\right]
\]應力向量 \(\boldsymbol = \boldsymbol\cdot\boldsymbol\)
t = sigma*n
t
\[\left[\begin\sqrt\\\sqrt\\\sqrt\end\right]
\]正應力 \(\sigma_n = \boldsymbol\cdot\boldsymbol\)
sigma_n = t.t*n
sigma_n
\[\left[\begin2\end\right]
\]剪應力
\[\tau_n = \sqrt
\]
tau_n =sqrt(t.t*t - sigma_n**2)
tau_n
\[\left(\left[\begin2\end\right]\right)^}
\]
Python3之彈性力學 應力張量1
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