\(s(n) = \sum\limits_ i^ka^i\)
這個式子**於sp19997。
魚神的題解裡提到，\(s(n)\)這樣的式子，可以寫成更通用的形式：
\(s(n) = \sum f(i)a^i (i <= n),\)在本題中，\(f(i) = i^k\)
同時也有乙個窩不會證明的神仙結論：
存在乙個次數不高於 \(k\) 的多項式 \(g(x)\)，使得 \(s(n)=a^ng(n)-g(0)\)
也就是說，我們只要知道\(g(n)\)和\(g(0)\),就可以快速求出這個式子。
然後我們很容易推得 \(g(n)=(g(n-1)+f(n-1))/a\)
又因為\(g(n)\)是\(k\)次多項式，所以\(k+1\)次差分後其必然是\(0\),即
\(\sum\limits_^(-1)^i\binomg(k+1-i)=0\)
然後設個未知數，把\(g(0)...g(k)\)都解出來，就可以插值求出\(g(n)\)了
然後就沒了。
複雜度\(o(k)\)
\(upd\)
\(on\)
\(2020.4.28:\)
為什麼這個做法有時候會出鍋呢\(?\)
主要是因為這個做法設未知數解方程的過程中可能出現
\(ax=c,a=0,c\neq 0\)的情況或者\(ax=c,a=0,c=0\)的情況\(.\)
這時候一般來說是可以特判的\(,\)比如說當\(f(i) = i^0 = 1\)的時候就可以直接\(o(k)\)插值做自然數冪和\(.\)
OI 關於快速冪的簡單理解
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