\(ps\): 此處以詢問區間和為例
線段樹之所以稱為「樹」，是因為其具有樹的結構特性。線段樹由於本身是專門用來處理區間問題的（包括\(rmq\)、\(rsq\)問題等），所以其結構可以近似的看做一棵二叉查詢樹：
\(emmmmm\)圖是從網上偷的
對於每乙個子節點而言，都表示整個序列中的一段子區間；對於每個葉子節點而言，都表示序列中的單個元素資訊；子節點不斷向自己的父親節點傳遞資訊，而父節點儲存的資訊則是他的每乙個子節點資訊的整合。
有沒有覺得很熟悉？對，線段樹就是分塊思想的樹化，或者說是對於資訊處理的二進位製化——用於達到\(o(logn)\)級別的處理速度，\(log\)以\(2\)為底。（其實以幾為底都只不過是個常數，可忽略)。而分塊的思想，則是可以用一句話總結為：通過將整個序列分為有窮個小塊，對於要查詢的一段區間，總是可以整合成\(k\)個所分塊與\(m\)個單個元素的資訊的並\((0<=k,m<=\sqrt)\)。但普通的分塊不能高效率地解決很多問題，所以作為\(log\)級別的資料結構，線段樹應運而生。
由於二叉樹的自身特性，對於每個父親節點的編號\(i\),他的兩個兒子的編號分別是\(2i\)和\(2i+1\)，所以我們考慮寫兩個\(o(1)\)的取兒子函式：
int n;
int ans[maxn*4];
inline int ls(int p)//左兒子
inline int rs(int p)//右兒子
那麼根據線段樹的服務物件，可以得到線段樹的維護:
void push_up_sum(int p)// 向上不斷維護區間操作
void push_up_min(int p)//max
那麼對於建樹，由於二叉樹自身的父子節點之間的可傳遞關係，所以可以考慮遞迴建樹（\(emmmm\)之前好像不小心劇透了\(qwq\)），並且在建樹的同時，我們應該維護父子節點的關係：
void build(ll p,ll l,ll r)
//如果左右區間相同，那麼必然是葉子節點啦，只有葉子節點是被真實賦值的
ll mid=(l+r)>>1;
build(ls(p),l,mid);
build(rs(p),mid+1,r);
//此處由於我們採用的是二叉樹，所以對於整個結構來說，可以用二分來降低複雜度，否則樹形結構則沒有什麼明顯的優化
push_up(p);
//此處由於我們是要通過子節點來維護父親節點，所以pushup的位置應當是在回溯時。
}
那麼對於區間操作，我們考慮引入乙個名叫「\(lazy\)
\(tag\)」（懶標記）的東西——之所以稱其「\(lazy\)」，是因為原本區間修改需要通過先改變葉子節點的值，然後不斷地向上遞迴修改祖先節點直至到達根節點，時間複雜度最高可以到達\(o(nlogn)\)的級別。但當我們引入了懶標記之後，區間更新的期望複雜度就降到了\(o(logn)\)的級別且甚至會更低.
不扯淡了，聊正事：
分塊的思想是通過將整個序列分為有窮個小塊，對於要查詢的一段區間，總是可以整合成\(k\)個所分塊與\(m\)個單個元素的資訊的並\((0<=k,m<=logn)\)(小小修改了一下的上面的前言\(qwq\))
那麼我們可以反過來思考這個問題：對於乙個要修改的、長度為\(l\)的區間來說，總是可以看做由乙個長度為\(2\)^\(log\)(\(\lfloor\rfloor{}\))和剩下的元素（或者小區間組成）。那麼我們就可以先將其拆分成線段樹上節點所示的區間，之後分開處理：
如果單個元素被包含就只改變自己，如果整個區間被包含就修改整個區間
首先，懶標記的作用是記錄每次、每個節點要更新的值，也就是\(delta\),但線段樹的優點不在於全記錄（全記錄依然很慢qwq），而在於傳遞式記錄：
** 整個區間都被操作，記錄在公共祖先節點上；只修改了一部分，那麼就記錄在這部分的公共祖先上；如果四環以內只修改了自己的話，那就只改變自己。**
\(\rm\)
\(\rmt\)，如果我們採用上述的優化方式的話，我們就需要在每次區間的查詢修改時\(pushdown\)一次，以免重複或者衝突或者**\(qwq\)
那麼對於\(pushdown\)而言，其實就是純粹的\(pushup\)的逆向思維(但不是逆向操作)：
因為修改資訊存在父節點上，所以要由父節點向下傳導\(lazy\)
\(tag\)
那麼問題來了：怎麼傳導\(pushdown\)呢？這裡很有意思，開始回溯時執行\(pushup\),因為是向上傳導資訊；那我們如果要讓它向下更新，就調整順序，在向下遞迴的時候\(pushdown\)不就好惹~\(qwq\)：
inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)
//我們可以認識到，f函式的唯一目的，就是記錄當前節點所代表的區間
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
push_down(p,l,r);
//回溯之前（也可以說是下一次遞迴之前，因為沒有遞迴就沒有回溯）
//由於是在回溯之前不斷向下傳遞，所以自然每個節點都可以更新到
ll mid=(l+r)>>1;
if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
push_up(p);
//回溯之後
}
ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
（還有，輸入大資料一定不要用不加優化的cin/cout啊）
#include#include#define maxn 1000001
#define ll long long
using namespace std;
unsigned ll n,m,a[maxn],ans[maxn<<2],tag[maxn<<2];
inline ll ls(ll x)
inline ll rs(ll x)
void scan()
inline void push_up(ll p)
void build(ll p,ll l,ll r)
ll mid=(l+r)>>1;
build(ls(p),l,mid);
build(rs(p),mid+1,r);
push_up(p);
} inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
push_down(p,l,r);
ll mid=(l+r)>>1;
if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
push_up(p);
}ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
int main()
case 2:}}
return 0;
}
TypeScript版線段樹
脫離acm隊伍已經一年多了，現在還能手寫的演算法不多，線段樹是其中一種。謹以此文紀念逝去的acm生涯 線段樹是一種二叉搜尋樹，常用於區間求和 區間求極值，其查詢和更新時間複雜度是o logn 線段樹的主要操作包括初始化 更新和查詢 1.初始化 初始化過程是乙個遞迴演算法，從根節點遞迴全樹。作用是設定...
指標版的線段樹
includeusing namespace std const int n 1000005 struct node tree n int x,t,outit n long long ans vectoraqueue n struct point data n void buildtree node...
非遞迴版線段樹模板
摘自這裡 0 定義 define maxn 100007 int a maxn n,n 原陣列,n為原陣列元素個數 n為擴充元素個數 int sum maxn 2 區間和 int add maxn 2 懶標記 1 建樹 void build int n 2 點修改 a l c void update...