蒙特卡羅方法入門

2022-03-15 23:58:33 字數 2118 閱讀 9536

原文出處: 阮一峰的日誌(@ruanyf)   歡迎分享原創到伯樂頭條

本文通過五個例子,介紹蒙特卡羅方法(monte carlo method)。

蒙特卡羅方法是一種計算方法。原理是通過大量隨機樣本,去了解乙個系統,進而得到所要計算的值。

它非常強大和靈活,又相當簡單易懂,很容易實現。對於許多問題來說,它往往是最簡單的計算方法,有時甚至是唯一可行的方法。

它誕生於上個世紀40年代美國的」曼哈頓計畫」,名字**於賭城蒙特卡羅,象徵概率。

第乙個例子是,如何用蒙特卡羅方法計算圓周率π。

正方形內部有乙個相切的圓,它們的面積之比是π/4。

現在,在這個正方形內部,隨機產生10000個點(即10000個座標對 (x, y)),計算它們與中心點的距離,從而判斷是否落在圓的內部。

如果這些點均勻分布,那麼圓內的點應該佔到所有點的 π/4,因此將這個比值乘以4,就是π的值。通過r語言指令碼隨機模擬30000個點,π的估算值與真實值相差0.07%。

上面的方法加以推廣,就可以計算任意乙個積分的值。

比如,計算函式 y = x2 在 [0, 1] 區間的積分,就是求出下圖紅色部分的面積。

這個函式在 (1,1) 點的取值為1,所以整個紅色區域在乙個面積為1的正方形裡面。在該正方形內部,產生大量隨機點,可以計算出有多少點落在紅色區域(判斷條件 y < x2)。這個比重就是所要求的積分值。

用matlab模擬100萬個隨機點,結果為0.3328。

蒙特卡羅方法不僅可以用於計算,還可以用於模擬系統內部的隨機運動。下面的例子模擬單車道的交通堵塞。

根據 nagel-schreckenberg 模型,車輛的運動滿足以下規則。

在一條直線上,隨機產生100個點,代表道路上的100輛車,另取概率 p 為 0.3 。

上圖中,橫軸代表距離(從左到右),縱軸代表時間(從上到下),因此每一行就表示下一秒的道路情況。

可以看到,該模型會隨機產生交通擁堵(圖形上黑色聚集的部分)。這就證明了,單車道即使沒有任何原因,也會產生交通堵塞。

某產品由八個零件堆疊組成。也就是說,這八個零件的厚度總和,等於該產品的厚度。

已知該產品的厚度,必須控制在27mm以內,但是每個零件有一定的概率,厚度會超出誤差。請問有多大的概率,產品的厚度會超出27mm?

取100000個隨機樣本,每個樣本有8個值,對應8個零件各自的厚度。計算發現,產品的合格率為99.9979%,即百萬分之21的概率,厚度會超出27mm。

**市場有時交易活躍,有時交易冷清。下面是你對市場的**。

已知你的成本在每股5.5元到7.5元之間,平均是6.5元。請問接下來的交易,你的淨利潤會是多少?

取1000個隨機樣本,每個樣本有兩個數值:乙個是**的成本(5.5元到7.5元之間的均勻分布),另乙個是當前市場狀態(冷清、活躍、溫和,各有三分之一可能)。

模擬計算得到,平均淨利潤為92, 427美元。

蒙特卡羅方法入門

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