質數又稱素數(下文中不區分質數和素數)
設 $ p \in z_+ $
\((1)\)當且僅當 $ p > 1 $ 且只能被 $ 1 $ 和 $ p $ 整除(即 $ p $ 僅有兩個因子 $ 1 $ 和 $ p $ ), 則稱 $ p $ 是乙個質數;
\((2)\)否則, 若 $ p > 1 $ , 則稱 $ p $ 是乙個合數;
\((3)\)當 $ p = 1 $, $ p $ 既不是質數也不是合數.
\((1)\)質數有無窮多個.
\((2)\)若 $ n $ 是乙個合數, 則 $ n $ 至少有乙個質因子.
\((3)\)若 $ n $ 是乙個合數, 其中最小的質因子一定不大於 $ \sqrt n $
\((4)\)若 $ n $ 是乙個合數, 不大於 $ n $ 的質數約有 $ \dfrac $ 個.
把正整數 $ n $ 寫成質數的乘積
$ n = p_1p_2p_3...p_k $, 其中 $ p_i $ 為質數, $ a_i $ 為正整數
這樣的表示是唯一的.
最簡單的判斷乙個數\(n\)是否為質數的方法
只需要從 $ 2 $ 除到 $ \sqrt n$ 即可, 如果中間有整數能整除 \(n\) 則 \(n\) 是合數, 反之 $ n $ 是質數
[cf 776b] sherlock and his girlfriend
反證法:
假設素數是有限個, 設最大素數為 \(p\)
設 $ n $ 是所有素數之積加一, $ n = 2 \times 3 \times ... \times p + 1 $
所以 $ n > p $
又因為 \(p\) 是最大素數
所以 $ n $ 是合數
但是 $ n $ 除以任何乙個素數都餘 $ 1 $
\((1)\)若 $ n $ 是素數, 則與 $ p $ 是最大素數矛盾.
\((2)\)若 $ n $ 是合數, 則 $ n $ 必有乙個大於 $ p $的素數約數, 與假設矛盾.
所以素數有無限個
反證法:
假設存在合數沒有質因子
那麼這些合數中必然有最小的乙個合數 $ a $
因為 $ a $ 為合數
所以一定可以寫成除了 $ 1 $ 和 $ a $ 之外的整數的積
設其中乙個為 $ b $. 則 $ b < a $
又因為 $ a $ 沒有質因數
那麼 $ b $ 為合數, 且也不存在質因數,
則 $ b $ 也是沒有質因數的合數
但是 $ b < a $ 與假設矛盾
所以任意乙個合數至少有乙個質因子.
反證法:
設\(n\)最小的質因數是$d,\space d > \sqrt $
那考慮\(n\)的分解形式：$ n = d \times x \space , \space x \in n_+ $
顯然 $ x = \dfrac $為小於 $ d $ 的因數，矛盾
如果 $ x $ 為合數,不斷的分解為質數即可
知道就好了其實是我不會
有兩處值得證明, 一是存在性, 二是唯一性
存在性反證法:
假設 $ n $ 為不能被分解為質數乘積的自然數中的最小的乙個
因為如果 $ n $ 為素數
那麼 $ n $ 顯然只能被分解為 $ n $
所以假設 $ n $ 為大於 $ 1 $ 的合數
所以一定存在兩個數 $ a , b $ 能整除 $ n $ ,且 $ 1 < a , b < n,$ 所以得到 $ n = a \times b $
如果 $ a , b $ 都為質數, 與假設矛盾
如果 $ a , b $ 中有乙個為合數
假設是 $ a $
因為 $ n $ 已經是最小的不能被分解為素數乘積的合數了
如果 $ a $ 不能被分解
那麼 $ n $ 為最小的不能被分解的合數這個條件就出現了矛盾
所以 $ a $ 是可以被分解為素數乘積的
所以 $ n $ 為能被分解為質數乘積, 與假設矛盾
同理當兩個數都為合數的時候會得到相同的矛盾
唯一性反證法:
假設 $ n $ 為最小的不能被唯一分解為一系列素數相乘的合數
設 $ n $ 能被分解為以下兩種形式
\(n = p_1p_2p_3...p_n\) ①
\(n = q_1q_2q_3...q_n\) ②
其中 \(p_i\) 和 \(q_i\) 均為素數，且單調不減
如果 \(p_i = q_i\)
那麼兩式聯立時會被約掉，那樣的話我們能得到乙個更小的素數組合
所以 \(p_i\) 與 任何乙個 $ q_i $ 都不相等,\(q_i\) 與 任何乙個 $ p_i $ 都不相等
所以 $ p_i \neq q_i $
那麼設 $ p_i < q_i$
然後用 $ p_1 $ 去替換②中的 \(q_1\) (這裡用 \(p_1\) 和 \(q_1\) 表示, 直接用 \(p_i\) 和 \(q_i\) 表示也行,不過 \(p_1\) 和 \(q_1\) 表示更容易理解)
從而得到乙個比 $ n $ 更小的數 $ m $
$ m = p_1q_2q_3...q_n$
設 $ x = n − m $
那麼它應該會有以下兩種形式：
\(x = p_1p_2p_3...p_n - p_1q_2q_3...q_n = p_1(p_2p_3…p_n − q_2q_3…q_n)\) ③
\(x = q_1q_2q_3...q_n - p_1q_2q_3...q_n = (q_1 -p_1 )(q_2q_3…q_n)\) ④
因為 $ x $ 比 $ n $ 要小
由假設得
因為 $ n $ 為最小的不能被唯一分解為一系列素數相乘的合數
所以 $ x $ 是能被唯一分解為一系列素數的乘積的
由③得, \(p_1\) 為 \(x\)的乙個質因子
因為 $ x $ 的分解具有唯一性
所以 \(p_1\) 要麼包含於 $ q_1 − p_1 $ 中, 要麼包含於 $q_2q_3…q_n $ 中
\((1)\)當 \(p_1\) 包含於 $ q_1 − p_1 $ 中
那麼 $ \dfrac $ 為整數
即 $ \dfrac - 1 $ 為整數
那麼 $ \dfrac$ 為整數
又因為 \(q_1, p_1\) 為素數 且 \(q_1 \neq p_1\)
所以 $ \dfrac$ 不可能為整數
矛盾\((2)\)當 $ p_1 $ 包含於 \(q_2q_3…q_n\)
因為假設中 \(p_1\) 與 任何乙個 $ q_i $ 都不相等
所以 $ p_1 $ 不包含於 $q_2q_3…q_n $
矛盾綜上所述:正整數 $ n $ 寫成質數的乘積的表示是唯一的
反證法:
設 $ n = p \times q $
若 $ p > \sqrt n, q > \sqrt n $
則 $p \times q > n $
所以 \(p, q\) 中有乙個小於等於 $ \sqrt n $
所以 只需要判斷到 $ \sqrt n$ 即可
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