常用的位運算技巧

位運算是很多演算法優化的基礎和實現的條件，極其重要。理解位運算對於一些演算法及其優化有著非常重要的意義。本篇隨筆講解位運算的一些基本原理和常用的使用技巧。

兩個二進位制數進行與&運算，如果對應位都為1則結果為1，否則為0.

與運算常常用於二進位制下的取位操作。想要知道二進位制下的某位是否是1，就&上這個位數對應的十進位制數。假如返回的是這個十進位制數本身，則這個位的確是1，反之就是0.

比如：我們要取第三位是否為1，我們只需要與&上第三位（二進位制表示為100）對應的二進位制數4，如果返回值為4，就代表第三位為1，反之就是0.

最常用的是取二進位制下的最末位，即a&1。這樣的技巧可以用於判斷奇偶，根據二進位制常識，尾數為1則為奇數，反之為偶數。

兩個二進位制數進行或|運算，如果對應位有乙個為1，結果就為1.只有在兩個數的對應位置都是0的時候，結果才為0.

或運算常用於二進位制特定位的賦值。想把哪個位強行變成1，就用這個數|上這個位數對應的二進位制數。

還是上面那個例子，我們想讓00000的第三位變成1.即十進位制變4，我們直接|上4就可以。

當然，不同於&運算，我們很少用|運算進行任意位賦值。通常來講，我們只使用a|1把a的最後一位強行變成1，其實質意義是把原數加一。或者使用a|1-1再把它變為0.這個技巧通常用於把它變成它最接近的偶數。

兩個二進位制數進行異或(^)運算，如果對應位相同，不管是0或者是1，都返回1，反之返回0.

其實沒啥用途...

好吧，我介紹乙個性質：乙個數經過兩次異或之後等於原數。

（很好理解）

把給定二進位制數全部取反。

其實沒什麼運算上的用途，本蒟蒻曾看見一些大佬用這個運算判斷輸入是否為0...

大約長這個樣子：

while(~scanf("%d",&n))

a《根據二進位制的常識，我們會發現，二進位制第k位上的數就等於\(2^k\)。（從0開始計位）

比如，二進位制下的100就是\(2^=4\)。

所以我們發現，左移運算a<\(a×2^b\)。

左移運算最常用的技巧就是用來代替×2的整數次冪的乘法運算。因為我們普遍認為，位運算是要比四則運算加減乘除及模運算更快一些的運算。

a>>b就是把a的二進位制位向右移動b位，溢位的捨去。

模擬於左移運算，我們發現右移運算就是把a除以2的整數次冪。這就是右移運算的用途——優化除法運算。

這裡需要特殊說明的是，右移演算法可以用在數學知識中的求最大公約數的程式塊上。因為mod運算的效率慢的出奇，所以我們可以用右移運算來進行除以2的操作。據說可以提高百分之60的效率。

位運算的優先順序是我們在處理位運算的時候常常要考慮的問題，誠然，我們可以用括號強制位運算的順序，但是，我們還是應該學會位運算的優先順序（這應該是常識）。

位運算的優先順序如下：

按位反（~）>位移運算（<<,>>）>按位與（&）>按位異或（^）>按位或（|）

眾所周知，狀壓dp就是把狀態壓縮成乙個01串（其實就是乙個二進位制數），用以減少dp陣列的維數。但是我們在dp的時候就要按照01串來進行狀態的轉移。所以位運算是狀壓dp的基礎知識和必備知識。所以我在本篇隨筆的末尾還附上了狀壓dp中比較常用的操作及其二進位制實現的方式。

1、獲得第i位的數字：(a>>i)&1 或者 a&(1《很好理解，我們知道可以用&1來提取最後一位的數，那麼我們現在要提取第i位數，就直接把第i位數變成最後一位即可（直接右移）。或者，我們可以直接&上1左移i位，也能達到我們的目的。

2、設定第i位為1：a=a|(1《我們知道強制賦值用|運算，所以就直接強制|上第i位即可。

3、設定第i位為0：a=a&(~(1《這裡比較難以理解。其實很簡單，我們知道非~運算是按位取反，(1<4、把第i位取反：a=a^(1<1左移i位之後再進行異或，我們就會發現，如果原數第i位是0，一異或就變成1，否則變成0。

5、取出乙個數的最後乙個1：a&(-a)

學過樹狀陣列的同學會發現，這就是樹狀陣列的lowbit。事實上，這和樹狀陣列的原理是一樣的。我想，不需要我多解釋。