二維樹狀陣列 學習筆記

前言：遇到二維的問題都很虛，而且樹狀陣列也不熟練……於是學了一發這個。

以下所有問題均在二維中

1.單點修改，單點查詢

這個最簡單，直接開乙個二維陣列搞一搞就完事了。

2.單點修改，區間查詢

$ans=sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1)$

**：

inline void add(int x,int y,int

k)inline 
int sum(int x,int
y)

3.區間修改，單點查詢

回想一下一維的樹狀陣列是怎麼維護的：我們維護$a[i]$的差分陣列$d[i]$；讓區間$[l,r]$加$k$就讓$d[l]$加$k$，$d[r+1]$減$k$。求和就是$a[i]=\sum\limits_^i d[j]$。放到二維也是一樣，差分陣列的意義變成如下：

$d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]$（模擬二維字首和）

比如我們想讓$(2,2,3,4)$之間的部分加$1$：

原先是這樣的：

000

0000
0000
0000
0000
0

做一下差分：

000

0001
00 -100
0000 -100
1

**：

inline void add(int x,int y,int

k)inline 
int sum(int x,int
y)inline 
void update(int x1,int y1,int x2,in
y2)

4.區間修改，區間查詢

這個我一維樹狀陣列也沒幹過這個，都是拿線段樹寫的……直接推式子吧。

我們還是維護差分陣列。想求$(1,1,x,y)$內所有數和，我們有：

$ans=\sum\limits_^x \sum\limits_^y \sum\limits_^i \sum\limits_^j d[k][h]$

考慮每個$d$算了多少次，我們可以化簡得到：

$ans=\sum\limits_^x \sum\limits_^y d[i][j]*(x-i+1)*(y-j+1)$\

$ans=(x+1)*(y+1)\sum\limits_^x \sum\limits_^y d[i][j]-(x+1)\sum\limits_^x \sum\limits_^y d[i][j]*j-(y+1)*\sum\limits_^x \sum\limits_^y d[i][j]*i+\sum\limits_^x \sum\limits_^y d[i][j]*i*j$

然後用四個樹狀陣列分別維護一下就行了。

**：

inline void add(int x,int y,int

z)inline 
int sum(int x,int
y)

二維樹狀陣列學習筆記

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