本省省選題是需要做的。
題目傳送門：洛谷p4609。
題意簡述：
求有多少個 \(1\) 到 \(n\) 的排列，滿足比之前的所有數都大的數正好有 \(a\) 個，比之後的所有數都大的數正好有 \(b\) 個。
答案對 \(mod=10^9+7\) 取模。
有 \(t\) 組資料。
題解：
考慮最大的元素 \(n\) ，它把序列分成兩部分。
考慮左邊的一部分，它滿足比之前所有數都大的數正好有 \(a-1\) 個，右邊同理。
把每個比之前所有數都大的數和其右邊比它小的連續一段的數分為一組，則左邊有 \(a-1\) 組。
每一組中，最大的元素要放在最左邊，其餘的排列方式隨意，所以是乙個圓排列，即有代表元素的排列。
這提示我們考慮第一類斯特林數。
把左邊和右邊合起來考慮，總共 \(n-1\) 個元素，分成 \(a+b-2\) 個圓排列，也就是 \(\mathbf_^\) 。
但是這些圓排列中，需要選取 \(a-1\) 個放在左邊一部分，右邊的放剩下的，也就是 \(\mathbf_^\) 。
注意到確定了一部分放置哪些圓排列後，這一部分的圓排列順序就確定了。
所以答案就是 \(\mathbf_^\mathbf_^\) 。
因為資料範圍不大，暴力預處理第一類斯特林數和組合數即可。
1//第一類斯特林數 (stirling number of the first type)2//
將 n 個有標號元素 分為 m 個 圓排列 (無序) 的方案數 記作 s(n,m)3//
圓排列 : 輪換相同的視作相同的排列。4//
圓排列的實際意義 : 有代表元素的排列 , 例如代表元素為最大元素5//
s(n,m) = s(n-1,m-1) + (n-1)*s(n-1,m)6//
考慮第 n 個元素 , 單獨成乙個排列 , 或者在前 n-1 個元素中的任意乙個的左側插入7//
邊界 : s(0,0)=1 , s(n,0)=0
89 #include 10
11 typedef long
long
ll;12
const
int mod = 1000000007;13
14int s[50005][205], c[205][105
];15
16void
init() 22}
2324 c[0][0] = 1;25
for (int i = 1; i <= 200; ++i) 30}
3132
intmain()
41return0;
42 }
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