精講母函式

在數學中，某個序列的母函式(generating function，又稱生成函式)是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。

母函式可分為很多種，包括普通母函式、指數母函式、l級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。

這裡先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看：

1.「把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來」

2.「母函式的思想很簡單 — 就是把離散數列和冪級數一 一對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. 「

母函式圖(1)

由此可以看出:

1.x的係數是a1,a2,…an 的單個組合的全體。

2. x^2的係數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。

………n. x^n的係數是a1,a2,….an的n個組合的全體（只有1個）。

母函式圖(2)

母函式的定義

對於序列a0，a1，a2，…構造一函式：

母函式圖(3)

稱函式g(x)是序列a0，a1，a2，…的母函式。

這裡先給出2個例子，等會再結合題目分析：

第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函式來解決這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函式1+1*x^1表示，

1個2克的砝碼可以用函式1+1*x^2表示，

1個3克的砝碼可以用函式1+1*x^3表示，

1個4克的砝碼可以用函式1+1*x^4表示，

我們拿1+x^2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量！初始狀態時，這裡就是乙個質量為2的砝碼。

那麼前面的1表示什麼？按照上面的理解，1其實應該寫為：1*x^0,即1代表重量為2的砝碼數量為0個。

所以這裡1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝碼有兩種狀態，不取或取，不取則為1*x^0，取則為1*x^2

不知道大家理解沒，我們這裡結合前面那句話：

「把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來「

接著討論上面的1+x^2，這裡x前面的係數有什麼意義？

這裡的係數表示狀態數(方案數)

1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面說的不取2克砝碼，此時有1種狀態；或者取2克砝碼，此時也有1種狀態。(分析！)

所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）

例如右端有2^x^5 項，即稱出5克的方案有2種：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案數有2種，稱出10克的方案數有1種 。

接著上面，接下來是第二種情況：

第二種：

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是乙個，而這裡每種是無限的。

母函式圖(4)

以展開後的x^4為例，其係數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這裡再引出兩個概念"整數拆分"和"拆分數"：

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於乙個球）。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。

現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例，給出模板：

[cpp]view plain

copy

print

?#include 

using namespace std;  

// author: tanky woo   

// www.wutianqi.com   

const int _max = 10001;   

// c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目   

// c2是中間量，儲存每一次的情況   

int c1[_max], c2[_max];     

int main()  

for(i=2; i<=nnum; ++i)   // ----- ②   

for(j=0; j<=nnum; ++j)     // ---- ⑤   

}  cout <

}  return 0;  

}  

#include using namespace std;

// author: tanky woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001; 
// c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目
// c2是中間量，儲存每一次的情況
int c1[_max], c2[_max]; 
int main()
for(i=2; i<=nnum; ++i) // ----- ②
for(j=0; j<=nnum; ++j) // ---- ⑤
} cout << c1[nnum] << endl;
} return 0;
}

①  、首先對c1初始化，由第乙個表示式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.

②  、 i從2到n遍歷，這裡i就是指第i個表示式，上面給出的第二種母函式關係式裡，每乙個括號括起來的就是乙個表示式。

④ 、 k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因為第i個表示式的增量是i）。

⑤  、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因為c2每次是從乙個表示式中開始的。

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