WC2010 重建計畫長鏈剖分點分治

題目描述

有一棵大小為 \(n\) 的樹，給定 \(l, r\) ，要求找到一條長度在 \([l, r]\) 的路徑，並且路徑上邊權的平均值最大

\(1 \leq n,l,r \leq 10^5\)

前幾天沉迷初賽來寫幾道資料結構恢復一下**能力，坑填完之後可能就要開始啃思維題了qwq。

這個題貌似長鏈剖分和點分複雜度都是 \(o(nlog^2n)\) 的，點分好久都沒碰了，長鏈剖分也只有暑假裡口胡了幾個多校的題而已，先講做法吧

這個題很顯然可以分數規劃，二分答案後問題轉化為每條邊邊權變為\(w_i - mid\) ，判斷能不能找到一條長度在 \([l, r]\) 且邊權和非負的路徑，實際上可以求一條滿足條件且邊權和最大的路。

點分治：

比較顯然的做法是對於每乙個分治中心用乙個資料結構來維護到點分中心的每一種長度的路徑的最值，然後暴力拼合路徑即可，這樣做的話總複雜度是 \(o(nlog^3n)\) ，感覺不太能松的過去。

簡單觀察發現，對於當前長度 \(i\) ，隨著 \(i\) 遞增可行的區間是單調左移的，所以可以用乙個單調佇列來處理每乙個分治中心的答案。不過要注意的是，總的區間大小等價於當前處理到的最長的路徑長度，如果先處理一條很長的路徑，剩下的點數很多的話複雜度就退化到 \(o(n^2logn)\) 了。

解決方法是對每乙個兒子按照其最長路徑長度排序（也就是最大深度），這樣處理每乙個兒子的複雜度不會超過其最長路徑長度，複雜度就是正確的 \(o(nlog^2n)\) 了，類似的套路也可以在 \(\text\) 見到

/*program by mangoyang*/
#include#define inf (0x7f7f7f7f)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template inline void read(t &x)
const int n = 200005;
const double eps = 1e-4;
int a[n], b[n], nxt[n], head[n], cnt, n, l, r;
inline void add(int x, int y, int z)
namespace tree
msize = max(msize, all - sz[u]);
if(msize <= mn) mn = msize, root = u;
}inline void build(int u)
}inline void realmain() 
inline bool cmp(int a, int b)
inline void getdis(int u, int fa, int x, int dep, double dis)
}inline void solve(int u)
sort(now.begin(), now.end(), cmp);
for(int i = 1; i <= len; i++) f[i] = -inf;
int mx = 0;
for(int pos = 0; pos < now.size(); pos++)
if(h <= t) res = max(res, c[x][i] + f[q[h]]); 
}for(int i = 0; i < c[x].size(); i++) 
f[i+1] = max(f[i+1], c[x][i]);
mx = c[x].size();
}for(int i = 0; i < g[u].size(); i++) solve(g[u][i]); 
}inline bool check(double x) 
}int main()
tree::realmain();
double l = 0, r = 1000000, ans = 0;
while(l + eps < r)
printf("%.3lf", ans);
return 0;
}

長鏈剖分

本質上點分做的事情是每次合併多個以深度為下標的陣列求最值，觀察發現這個題可以長鏈剖分。每一次保留重鏈的向上路徑，並把輕鏈的資訊一一合併上去。

但是這裡就不能用單調佇列優化了，因為重鏈是一開始就要被保留的，如果用單調佇列的話複雜度會被同樣的東西卡掉，所以必須要用線段樹來維護答案。

/*program by mangoyang*/
#include#define inf (0x7f7f7f7f)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template inline void read(t &x)
const int n = 200005;
const double eps = 1e-4;
double tag[n], f[n], ans, mid;
int a[n], b[n], nxt[n], head[n], cnt; 
int dfn[n], dep[n], ms[n], w[n], tot, n, l, r;
inline void add(int x, int y, int z)
struct segmenttree
inline void modify(int u, int l, int r, int pos, double x)
inline double query(int u, int l, int r, int l, int r)
}seg;
inline void dfs(int u, int fa)
}inline void split(int u, int fa)
for(int p = head[u]; p; p = nxt[p])
for(int i = 0; i <= dep[v]; i++)
}}inline bool check()
int main()
dfs(1, 0);
double l = 0, r = 1000000, realans = 0; 
while(l + eps < r)
printf("%.3lf", realans);
return 0;
}

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