動態規劃電路佈線

問題描述：

在一塊電路板的上、下兩端分別有n個接線柱。根據電路設計，要求用導線(i,π(i)) 將上端接線柱i與下端接線柱π(i)相連，如下圖。其中，π(i),1≤ i ≤n,是｛1,2,…,n｝的乙個排列。導線(i, π(i))稱為該電路板上的第i條連線。對於任何1 ≤ i ≤ j ≤n,第i條連線和第j條連線相交的充要條件是π(i)> π(j).

在製作電路板時，要求將這n條連線分布到若干絕緣層上。在同一層上的連線不相交。電路佈線問題要確定將哪些連線安排在第一層上，使得該層上有盡可能多的連線。換句話說，該問題要求確定導線集nets = ｛i，π(i)，1 ≤ i ≤ n｝的最大的乙個子集，這個子集中的導線互相不相交。

問題分析：

顯然這是乙個組合問題，對於組合問題中求最優解的方法基本都是動態規劃演算法。現在表述一下如何劃分子問題：

用b(i,j)表示最優解，其中，i是上端接線柱的序號，j是下端接線柱的序號，b(i,j)表示序號小於或等於i的上端接線柱和序號小於或等於j的下端接線柱中不相交連線的最大集合。用size(i,j)表示集合中導線的數目（size(i,j)=|b(i,j)|）。b(i,j)的值蘊含在b(i-1,j)和b(i,j-1)這倆個子問題中，對於有2xn個接線柱的電路板，那麼b(n,n)就是其解了。

對於上端接線柱t，用 π(t)表示與他相連的下端接線柱

那麼遞推公式為：

b(i-1,j-1)u,( j==π(i))

b(i,j)=

size(i-1,j)>size(i,j-1)?b(i-1,j):b(i,j-1) ,(j!== π(i))

size(i-1,j-1)+1, (j==π(i))

size(i,j)=

max(size(i-1,j),size(i,j-1)), (j!== π(i))

遞推公式證明：

對於從b(i-1,j)或b(i,j-1)到b(i,j)要麼會多加一條導線，要麼不加。

1. 當 j==π(i)時，（i,j）則是一條導線，且這條導線對b(i-1,j-1)的值沒有影響，因為b(i-1,j-1)中的任意的一條導線的節點序號（無論是上端節點序號還是下端節點序號）都小於i,j,這由其空間位置決定的。

現在求b(i,j), 即求序號小於或等於i的上端接線柱和序號小於或等於j的下端接線柱中不相交導線的最大集合。顯然應是b(i-1,j-1)u(i,j).

2 . 當j!= π(i)時。假如問題是從b(i,j-1)到b(i,j)，那麼下端新加入的接線柱j要麼與上端的1至i-1個接線柱構成導線（與第i個接線柱構成導線的情況在上面已經討論），要麼不構成。

如果構成的話那麼這種情況其實已經在b(i-1,j)中討論了，這裡不再考慮。那麼b(i,j) 應是序號區間比他小一點的子問題的解。小一點是多少，肯定就是少乙個接線柱了,也就是b（i-1,j）。

如果不構成的話，那麼b(i,j)肯定就是序號區間比他小一點的子問題的解了。

對於b(i,j)可能由b(i-1,j)或b(i,j-1)過渡而來，所以b(i,j)取其中較大的乙個。

1
intmain()
2;//
按序存放下端對應接線柱序號
4int matrix[n+1][n+1][2]=;
5for(int i=1;i1;i++)
6else
1418}19
}20 cout<
the result is :
"<0]/
輸出的是最大導線集中導線的數目,有儲存中間決策結果
21return0;
22 }

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