給定乙個長度為 \(n\) 的整數數列 \(\\), 構造數列 \(\\), 滿足以下條件
求滿足上述條件的數列 \(\\) 的數量.
$ n \le 50,\ r_i \le 150$
計數題, 考慮 \(dp\).
設 \(f[i][l][r]\) 為 : 考慮到 \(a_i\), \(l\) 為 \(a_\) 中小於等於 \(a_i\) 的最大值, \(r\) 為 \(a_\) 中大於等於 \(a_i\) 的最小值時, 數列 \(\\) 的數量.
首先明確一點, 當 \(l\not=r\) 時, \(a_i\) 需滿足 \(a_i\not = l\) 且 \(a_i\not =r\). 因為若 \(a_i=l\) 且 \(l\not=r\), 那麼大於等於 \(a_i\) 的最小值就不是 \(r\) 而是 \(l\) 了, 不符合 \(dp\) 狀態的意義; 當 \(a_i=r\) 時同理. 這一點在等下轉移的時候會用到.
為了便於處理, 我們把 \(l=-inf\) 的情況和 \(r=inf\) 的情況分別設為 \(l=0\) 和 \(r=max\+1\).
列舉 \(l',r'\) 進行轉移, 三種情況分類討論.
先考慮邊界情況, 當 \(l'=r'=l\) 時, 表示 \(a_\) 的取值為 \(l\), 那麼 \(l'\) 和 \(r'\) 就與 \(a_\) 無關了, 那麼它可以取 \((l,min(r_i,r)\) 中的任一值, 轉移係數為 \(min(r_i,r-1)-l\). 當 \(l'=r'=r\) 時同理.
而當 \(l'=r'\) 並且 \(l'\not=l\), \(l'\not= r\) 時, 就表示 \(a_\) 的取值與 \(a_\) 一致, 即 \(l'=r'=a_i\), 列舉 \(a_i\) 的所有可能取值轉移即可, 係數為 \(1\).
當 \(l'\not=r'\) 時, \(l'\) 和 \(r'\) 中必有乙個等於 \(a_i\), 我們仍是列舉 \(a_i\) 所有可能的取值轉移即可, 係數為 \(1\).
最後統計答案的計算式如下.
\[ans=\sum_+1} f[n][l][r]*(r-1-l) + \sum_ f[n][k][k]
\]其中 \(r-1-l\) 表示的是 \(a_n\) 的所有可能取值.
#includetypedef long long ll;
using namespace std;
const int _=50+7;
const int __=150+7;
const ll mod=998244353;
int n,lim[_],inf;
ll f[_][__][__],ans;
void _pls(ll &x,ll y)
int main()
for(int i=1;i<=n;i++)
inf++;
for(int i=1;i<=lim[1];i++)
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int l=0;l<=lim[i];l++)
for(int r=l;r<=inf;r++)
for(int k=l+1;k<=min(r-1,lim[i]);k++)
if(l&&l<=lim[i+1]) _pls(f[i+1][l][l],f[i][l][r]*(ll)(min(lim[i],r-1)-l)%mod);
if(r&&r<=lim[i+1]) _pls(f[i+1][r][r],f[i][l][r]*(ll)(min(lim[i],r-1)-l)%mod);
}for(int l=0;l<=lim[n];l++)
for(int r=0;r<=inf;r++)
if(l&&l==r) _pls(ans,f[n][l][r]);
else _pls(ans,f[n][l][r]*(ll)(min(lim[n],r-1)-l)%mod);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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