組合意義: 將 \(n\) 個有區別的小球放進 \(m\) 個無區別的盒子裡,且沒有空盒的方案數為第二類斯特林數, 記為 \(s(n,m)\).
遞推式: \(s(n,m) = m*s(n-1,m) + s(n-1,m-1)\)
組合意義證明: 把乙個新的小球放進盒子裡, 可以選擇放進 \(m\) 個盒子中的乙個, 也可以放進乙個新的盒子中.
計算公式: \(s(n,m) = \frac \sum_^ (-1)^i \binom (m-i)^n\)
理解: 容斥, 列舉哪幾個盒子是空的, 用總方案數減去至少乙個空盒, 加上至少兩個空盒......., 最後再去除排列的重複度.
推論1: 當 \(n時, \(\sum_^ (-1)^i \binom (m-i)^n = 0\).
組合意義證明: 當 \(n時, 無論怎麼放都會有空盒, 所以 \(s(n,m) = 0\), 因為 \(\frac \ge 0\), 所以 \(\sum_^ (-1)^i \binom (m-i)^n = 0\).
推論2: \(\sum_^ (-1)^i \binom (m-i)^m = m!\)
組合意義證明: \(s(m,m)=1\), 所以 \(\frac \sum_^ (-1)^i \binom (m-i)^n = 1\), 等式兩邊同乘乙個 \(m!\) 即可
學習筆記 斯特林數
s n,m 表示把n個元素組合成m個圓排列的方案數 注意是圓排列，n個元素的圓排列方案數 n n n 1 說幾個 o n 2 遞推式 考慮最後乙個放在 第乙個式子有乙個不錯的證明 考慮遞推式，畫成橫座標m縱座標n的圖，只能往上或者往右上走，邊權不同 1或者i i是當前縱座標 乙個路徑的價值定義為邊權...
斯特林數 斯特林反演
第一類stirling數 s n,m 也可記為 beginn m end 第一類stirling分為無符號第一類stirling數 s u n,m 和帶符號第一類stirling數 s s n,m 他們分別表現為其公升階函式和降階函式的各項係數，形式如下 x x cdot x 1 cdot x 2 ...
二項式反演 斯特林數 斯特林反演 學習筆記
從錯排數講起，考慮乙個有n個元素的排列，若乙個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那麼這樣的排列就稱為原排列的乙個錯排。用容斥來解決這個問題，不難發現錯排數即為g n i 1n 1 i ni n i 考慮二項式定理，1 1 n i 0n 1 i ni 0 上式當n 0時值為1，所以有 i 0n ...