Bellman Ford演算法 解決負權邊

dijkstra演算法雖然好，但是它不能解決帶有負權邊（邊的權值為負數）的圖。

接下來學習一種無論在思想上還是在**實現上都可以稱為完美的最短路徑演算法：bellman-ford演算法。

bellman-ford演算法非常簡單，核心**四行，可以完美的解決帶有負權邊的圖。

for(k=1;k<=n-1;k++)  //外迴圈迴圈n-1次，n為頂點個數

for(i=1;i<=m;i++)//內迴圈迴圈m次，m為邊的個數，即列舉每一條邊
if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])//嘗試對每一條邊進行鬆弛，與dijkstra演算法相同
dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i]; 

因為最短路徑是乙個不包含迴路的簡單路徑，迴路分為正權迴路(迴路權值之和為正)和負權迴路(迴路權值之和為負)。如果最短路徑中包含正權迴路，那麼去掉這個迴路，一定可以得到更短的路徑；如果最短路徑中包含負權迴路，那麼肯定沒有最短路徑，因為每多走一次負權迴路就可以得到更短的路徑. 因此最短路徑肯定是乙個不包含迴路的最短路徑，即最多包含n-1條邊。

bellman-ford演算法的主要思想：

首先dis陣列初始化頂點u到其餘各個頂點的距離為∞，dis[u] = 0。

然後每輪對輸入的所有邊進行鬆弛，更新dis陣列，至多需要進行n-1次就可以求出頂點u到其餘各頂點的最短路徑（

因為任意兩點之間的最短路徑最多包含n-1條邊，所以只需要n-1輪就行）。

一句話概括bellman-ford演算法就是：對所有邊進行n-1次「鬆弛」操作。

此外，bellman-ford演算法可以檢測乙個圖是否有負權迴路。如果已經進行了n-1輪鬆弛之後，仍然存在

if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])

dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];

關鍵**如下：

//

bellman-ford演算法核心語句
for(k=1;k<=n-1;k++) //
外迴圈迴圈n-1次，n為頂點個數
for(i=1;i<=m;i++)//
內迴圈迴圈m次，m為邊的個數，即列舉每一條邊
if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])//
嘗試對每一條邊進行鬆弛，與dijkstra演算法相同
dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i]; 
//檢測負權迴路
flag=0
;for(i=1;i<=m;i++)
if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])
flag=1
;if(flag==1
) printf(
"此圖有負權迴路
");

在實際操作中，bellman-ford演算法經常會在沒有達到n-1輪鬆弛前就已經計算出最短路，上面已經說過，n-1其實是最大輪迴次數。

因此可以新增乙個變數check用來標記陣列dis在本輪鬆弛中是否發生了變化，若沒有變化，則提前跳出迴圈。

完整**如下：

#include #define inf 999999

intmain()
//初始化dis陣列，這裡是1號頂點到其餘頂點的初始路程
for (i = 1; i <= n; ++i)
dis[
1] = 0
; 
//bellman-ford演算法核心**
for (j = 1; j <= n-1; ++j) //
最多迴圈n-1輪
}//鬆弛完畢後檢測陣列dis是否有更新
if (check==0
) 
}//檢測負權迴路
for (i = 1; i <= m; ++i) //
n-1次之後最短路徑還會發生變化則含有負權迴路
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