倍增小結 ST 與 LCA

倍增我是真滴不會

倍增法（英語：binary lifting），顧名思義就是翻倍。

能夠使線性的處理轉化為對數級的處理，大大地優化時間複雜度。

(ps:上次學倍增lca,沒學會,老老實實為了嚴格次小生成樹滾回來重新學)

st表\(n~log(n)~\)的預處理與\(o~(1)\)的查詢

感性理解一下

對於每次詢問\([l,~r]\)

q:這裡為什麼不能直接用\(f_\) 呢？

a:因為我們這裡的\(log\)是向下取整的，可能會出現有一塊取不到的部分

q:那有重複的部分怎麼辦吶？？

a:重複部分對答案的貢獻有影響嗎？

q:貌似莫得影響

a:\(ans = max(f_, f_)\)

注意點

\[log_2 1 = 0

\]\[log_2 x = log_2 \frac + 1

\]第二個式子是這樣推導出來的

\[log_2~x = log_2~2\times\frac\\

~~~~~~~~~~~~~~~= log_2 + log_2\frac\\

~~~~~~~~~=1+log_2\frac

\]code

#include #include #include #include #include #define ll long long
using namespace std;
const int logn = 22;
const int n = 2000001;
int read() 
int log[n];
int n ,m;
void pre() 
int f[n][25];
int main() 
system("pause");
return 0;
}

倍增求lca

例題可以每次找深度比較大的那個點，讓它向上跳。顯然在樹上，這兩個點最後一定會相遇，相遇的位置就是想要求的 lca。或者先向上調整深度較大的點，令他們深度相同，然後再共同向上跳轉，最後也一定會相遇.(摘自oi wiki)

就是從深度深的向上跳,到達同一深度後一起向上跳(學過樹剖的都知道吧，艹估計沒人跟我一樣先學的樹剖，然後回來學倍增)

倍增就很優秀了

dfs

void dfs(int x, int fa) 
}

這一塊可以解釋一下，假如說求的是最下面兩個節點，很明顯兩個點的lca是紫線所指向的點，問題是怎麼找，\(\text\) 迴圈從大的向小遍歷，可以發現先從\(紅線 \to 粉線 \to 藍線 \to\)到了藍線所指的點，會向上跳一次到了紫線就發現了lca

\(\text \) 就是答案

這種是較為樸素倍增的求法，沒有用\(log\)優化

加入log優化的（但好像沒太大的常數優化）

log陣列還是原來的求法

void dfs(int x, int fa)

有一說一，我不大喜歡這種優化的方法我最喜歡的還是樹剖

#include #include using namespace std;
const int n = 5e5 + 10;
struct tree e[n << 1];
int nume, head[n];
void add_edge(int from, int to) 
int dep[n], f[n][21];
void dfs(int u, int fa) 
}int lca(int x, int y) 
if (x == y)
return x;
for (int i = 20; i >= 0; i--) 
return f[x][0];
}int main() 
dfs(s, 0);
for (int i = 1, x, y; i <= m; i++) 
}

#include #include #include #include #include #define ll long long
using namespace std;
const int n = 5e5 + 10;
int read() 
struct edge e[n << 1];
int head[n], nume;
void add_edge(int from, int to) 
int f[n][25], log[n], dep[n];
void dfs(int x, int fa) 
}int lca(int x, int y) 
return f[x][0];
}int main() 
log[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++)
log[i] = log[i / 2] + 1;
dfs(s, 0);
for (int i = 1; i <= m; i++) 
system("pause");
return 0;
}

#include #include using namespace std;
const int n = 5e5 + 10;
int head[n], nume;
struct node e[n << 1];
void add_edge(int from, int to) 
int fath[n], siz[n], dep[n], son[n];
void dfs(int x, int fa) 
}int dfn[n], pre[n], top[n], cnt;
void dfs2(int x, int tp) 
}int lca(int x, int y) 
if (dep[x] < dep[y])
swap(x, y);
return y;
}int n, m, s;
int main() 
dfs(s, 0), dfs2(s, s);
for (int i = 1; i <= m; i++) 
return 0;
}

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