直徑趨於零則面積一定趨於零
但面積趨於零，有可能出現長條的情況，不滿足密度近似均勻和形體近似平面
分（割極細，以至於密度和形體在面元內部均）勻（，隨後求）和（，在這種切分下整體呈現出穩定的極限值）
線性性質，分片光滑的可累加性
（重要）奇偶性
完全可以認為是第一類曲線積分的形式上的直接拓展。
\[\lim\limits_\sum_^f(x,y,z)\delta s_i\\=\lim\limits_\sum_^nf(x,y,g(x,y))\sqrt\,\mathrm d\sigma\\
=\iint\limits_df(x,y,g(x,y))\sqrt\,\mathrm d\sigma
\]最後一項是乙個二重積分。
不難看出線面積分之間的關係。我們只是將一次一元積分轉化成(二元的)二重積分另外可以利用引數方程進行計算。（利用jacob式可得公式）
作變數代換：
\[\mathrm ds=\frac=\frac}\mathrm d\sigma=\sqrt\,\mathrm du\,\mathrm dv
\]其中\(a,b,c\)是\(\overrightarrow,\overrightarrow,\overrightarrow\)的係數，分別為\(\frac,\frac,\frac\)
方向余弦是在這個2to3對映空間中定義的，每個維度上都有一定的轉化尺度，用jacob式衡量。方向余弦的大小不僅有幾何意義，還可以反映某個轉化尺度的大小。
某個幾何面上的微元除以方向余弦，就可以表示成這個幾何面和s曲面的關係，我們還可以進一步利用這個幾何面和對映虛面上微元\(\mathrm du\,\mathrm dv\)的關係，可知這個大根式即可轉化為虛面上的。
簡要總結：s，xoz，xoy，yoz都是幾何面。我們需要利用jacob式衡量的，都與換元的轉換尺度有關。
返回起始點時法向量指向始終不變
轉化成僅有常數+幾何意義可解的問題是少見但有效的。
通常用座標法求解。代入轉化為二重積分。
一般轉化方法：\(\iint\limits_\sigma r(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint\limits_dr[x,y,z(x,y)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy\)
公式總結如下
\[\iint\limits_s\overrightarrow\cdot\overrightarrow\,\mathrm ds\\
\iint\limits_dp\,\mathrm dy\,\mathrm dz+q\,\mathrm dz\,\mathrm dx+r\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\
\pm\iint\limits_dp(-f_x)+q(-f_y)+r\,\mathrm d\sigma...(\,\mathrm dx\,\mathrm dy)
\\ \pm\iint\limits_d\overrightarrow(u,v)\frac\sqrt\,\mathrm du\,\mathrm dv
\]其中\(\left|r_u\times r_v\right|=\sqrt\)
這裡的\(r_u,r_v\)，\(r\)是乙個二維\((u,v)\)對映到\((x,y,z)\)的三維曲面的兩個偏導數。分別都是乙個切向量。他們的叉乘方向與法向量相同。單位化之後即得\(\overrightarrow\)
\[\iint\limits_\sigma r(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint\limits_}r[x,y,z(x,y)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy
\]從而二型曲面積分可以有如下的轉化：
\[\iint\limits_\sigma\overrightarrow\cdot\mathrm d\overrightarrow=\iint\limits_\sigma \overrightarrow\cdot\overrightarrow\,\mathrm ds\\=\iint\limits_\sigma(p\cos\alpha+q\cos\beta+r\cos\gamma)\,\mathrm ds\\=\iint\limits_d p\,\mathrm dy\,\mathrm dz+q\,\mathrm dz\,\mathrm dx+r\,\mathrm dx\,\mathrm dy
\]二型曲面積分可以通過投影的方式轉化成三個一型面相加。
經過方向余弦代入，我們的結論也可以寫成：
\[\iint\limits_\sigma(p\cos\alpha+q\cos\beta+r\cos\gamma)\\
=\iint\limits_d\left(p(-f_x)+q(-f_y)+r\,\right)\mathrm dx\,\mathrm dy
\]這個統一區域的形式，看起來會好用很多！
幾何意義其實不用考慮過多，在某些程度上說，這是乙個由於偏導數連續引起的代數結果。幾何意義可可以理解成是法向量的朝向的轉換。這樣我們就建立了一二型麵之間的關係
建立二型面和三重積分的關係
物理意義：散度（由於法向量朝外從而對應-q）
《整個曲面的散度之和叫做通量，對比gauss定理的一般形式和積分形式》
n-l公式(0d-1d)
\[\int_a^bf(x)\,\mathrm dx=f(x)\big|_a^b
\]平面場散度(1d-2d)
\[\oint\limits_\overrightarrow\cdot\overrightarrow\,\mathrm d\ell=\iint\limits_d\left(\frac+\frac\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy
\]gauss公式(2d-3d)(這裡不支援二重閉面積分)
\[\iint\limits_(p,q,r)\cdot\overrightarrow\,\mathrm ds=\iiint\limits_\omega\left(\frac+\frac+\frac\right)\,\mathrm dv
\]其實green公式和stokes公式也可以有類似的觀點。
是green公式的高維形式。
\[\oint\limits_p\,\mathrm dx+q\,\mathrm dy+r\,\mathrm dz=\iint\limits_\left(\frac-\frac\right)\,\mathrm dy\,\mathrm dz+\left(\frac-\frac
\right)\,\mathrm dz\,\mathrm dx+\left(\frac-\frac\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy
\]輪換，借助三階行列式記憶。證明見北大p116，d124
從普通的微分和全微分——到
外微分-恰當微分
\[\int_\omega=\int_\omega\,\mathrm d\omega
\]\[\mathrm d \omega(\overrightarrow)=\sum_^n\sum_^n\fracx_i
\]切線是弦線的極限。
\[\left(\frac,\frac, \frac\right)=(x',y',z')\xlongequal(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)
\]切線方程利用點向式表示。
隨後，法平面可以利用點法式寫出（切線是這個平面的法線）
對原函式\(f(x, y,z)\)全微分，可以得到\((f_x,f_y,f_z)\cdot(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)=0\)，第二個向量是任意切向量。從而可以得到平面的法向量為\((f'_x, f'_y, f'_z)\)。
然後利用點法式方程可以寫出切平面\(f'_x(x-x_0)+f'_y(y-y_0)+f'_z(z-z_0)\)
對於過原點的圓，是\((-\frac, \frac)\)
對於雙扭線是\((-\frac,\frac)\)
對於包含原點的封閉圖形是\((0, 2\pi)\)
要注意幾重之間的制約關係
九章曲線積分與曲面積分
2 第一型曲面積分 對面積的曲面積分 3 第二型曲線積分 對座標的曲線積分 4 格林公式及其應用 定理4.1 格林公式 二重積分和曲線積分 5 第二型曲面積分 對座標的曲面積分 6 高斯公式和斯托克斯公式 7 場論初步 規定 將格林公式中的有向閉曲線圍成的乙個平面閉區域 此時流體流過圍成空間閉區域曲...
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