@(微積分)
有些問題，看著複雜，卻很好解。同樣，有些問題看著很簡單，但是卻很難下手。舉乙個關於第一型曲面積分計算的例子。
第一型曲面積分基礎解法要幹三件事：
三件事之間沒有邏輯順序，想先乾誰就幹誰。
目標是為了化為二重積分。曲面太彎了，我們需要在比較直的場面下才好進行積分。
或者可以固化為一種自己喜歡的順序：
設曲面s: x2分析：線面積分我們知道是可以代入到被積函式的，如果能代進去簡化問題，那麼毫不客氣代入進去。i=+y2=
a2,(
0≤z≤
a), 求 : i=
∫∫sd
sx2+
y2+z
2
積分曲面：柱面，是很容易想象的。
在能計算之前，還少一步：投影。
往哪投？
顯然這個曲面投影到xoy面上就是個線，線可不是二重積分。當然這不是否認往xoy平面投影的真正原因。真正原因是：投影到座標平面，不允許有重合的點。
如果投影到xoy，壓縮得只剩線了，你想有多少重合的點啊，都擠在乙個線上了。數不過來了已經。
那麼往xoz，或者yoz平面上頭都是可以的，但是，根據上面所說，不允許重合，那麼首先就得思考這個曲面關於xoz的對稱性（現在選投影到xoz上）。
顯然關於xoz對稱，且被積函式是關於y的偶函式（表示式裡根本就沒有y，自然f(x,y,z) = f(x,-y,z)）。
所以問題化為：i=
2∫∫s
1dsa
2+z2
,y>0
s1是+y這邊的平面。
既然是投影了，意味著把彎曲的部分硬生生的攤平了，是不是要補償一些什麼？
對的，補償係數。
係數如何補償？ds
=1+y
′2x+
y′2z
‾‾‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾‾
√dxd
z 投影到的是xoz面，那麼就表示y是有x,z表達的。雖然被積函式裡沒有y了，但是底層的邏輯中y是存在的。
這就牽涉到兩種情況：
乙個是顯函式，乙個是隱函式。給定了顯函式問題好像看著舒服一點。但是給定隱函式也ok，用隱函式求導法就可以的。
即對積分曲面表示式x2
+y2=
a2,想找到y′
x,y′
z 兩邊同時對x求導：2x
+2yy
′x=0
→y′x
=−xy
再同時對z求導：2y
y′z=
0→y′
z=0
好了，條件終於準備齊全了。動手解決問題。i=
2∫∫s
1dsa
2+z2
,y>0=
2∫∫d
xz1+
x2y2
‾‾‾‾
‾‾‾√
a2+z
2dxd
z=2∫
∫dxz
x2+y
2y2‾
‾‾‾‾
√a2+
z2dx
dz=2
∫∫dx
za2y
2‾‾‾
√a2+
z2dx
dz=2
∫∫dx
zaa2
−x2√
a2+z
2dxd
z 注意隨時可以把x2
+y2=
a 代入到被積函式持續化簡問題。
現在只剩下x,z了。
看出來了，這個才是要求的積分，很明顯是兩個常見積分式的解答。i=
2a∫a
−a1a
2−x2
‾‾‾‾
‾‾‾√
dx∫a
01a2
+z2d
z=2a
∫a−a
1a2−
x2‾‾
‾‾‾‾
‾√dx
1aar
ctan
za∣∣
a0=a
π∫a0
1a2−
x2‾‾
‾‾‾‾
‾√dx
=π22
最後乙個積分就不詳細寫了，2點多了，要去睡覺。
思路就是x=
asin
t 因為
x∈[0
,a]→
t∈[0
,π2]
化成三角相關積分，異常的簡單。
這一類都是畫乙個直角三角形確定引數，誰最大誰當斜邊。
Part 8 曲面積分
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積分學 重積分與曲線積分曲面積分的理解
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