對於定積分，高中教材裡有如下引例：
（高中教材本身就不嚴謹，這無所謂，但是我對這個例題印象太深了，所以拿它舉例說明問題）
小矩形面積和的極限，等不等於曲線下方的面積？這是乙個很迷的問題。
有人會說，面積不就是用積分定義的嗎？可是你怎麼保證你這樣定義的面積跟幾何直觀上是一致的呢？
換句話說，圖中小矩形面積之和，從幾何直觀上來看，是小於曲線下方的面積的。（整體大於部分）
如果極限存在，那麼這個極限（也就是 \(\frac\)）可能等於曲線下方的面積，也可能小於曲線下方的面積。（即不大於曲線下方的面積）
你怎麼知道它就是等於，不是小於呢？
其實是可以證明它是等於的。這裡要借用一下古希臘阿基公尺德的方法。
在遙遠的古希臘，根本沒有微積分的概念。但是阿基公尺德還是用微積分的思想嚴格匯出了圓的面積和球的體積的公式。
他是如何保證嚴格的呢？思路是這樣的。比如說現在要求圓的面積，就先證明圓內接正多邊形的面積小於 \(\pi r^2\) 且收斂於圓的面積，再證明圓外接正多邊形的面積大於 \(\pi r^2\) 且收斂於圓的面積。這樣，如果假設圓的面積大於 \(\pi r^2\) 就跟第一條矛盾；如果假設圓的面積小於 \(\pi r^2\) 就跟第二條矛盾。所以圓的面積就只能是 \(\pi r^2\).
按照這個思路，我們已經得出了極限不大於曲線下方的面積，所以只需要再證該極限值不小於曲線下方的面積即可。
取每個小區間右端點的函式值作為小矩形的高並對面積（圖中虛線包含的部分）求和，再取極限，同樣會得到 \(\frac\) (注意這跟用前一種取高方法求出的極限是相等的). 而且此時小矩形的面積和從幾何直觀上看是大於曲線下方的面積的，所以極限 \(\frac\) 是不小於曲線下方的面積的。結合上面一點（極限 \(\frac\)不大於曲線下方的面積）可知，該極限一定等於曲線下方的面積。這就從幾何直觀上把積分和面積對應起來了。
由此就可以得出，「可積」的意思就是可以用積分的方法求面積。因為可積的第一充要條件說，上和與下和的極限相等就可積（反過來也成立），而且這個極限就等於積分的值。
這就相當於是在說：上和不小於面積，下和不大於面積，極限又一致，所以極限就等於面積。如果極限不一致，就不能用這種方法求出面積。
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