幾個概率題

原文：

1，一根木棒，截成三截，組成三角形的概率是多少？

2，拋乙個六面的色子，連續拋直到拋到6為止，問期望的拋的次數是多少?

3，乙個木桶裡面有m個白球，每分鐘從桶中隨機取出乙個球塗成紅色（無論白或紅都塗紅）再放回，問將桶中球全部塗紅的期望時間是多少？

4，你有一把寶劍。每使用乙個寶石，有50%的概率會成功讓寶劍公升一級，50%的概率會失敗。如果寶劍的級數大於等於5的話，那麼失敗會使得寶劍降1級。如果寶劍的級數小於5的話，失敗沒有效果。問題是：期望用多少個寶石可以讓一把1級的寶劍公升到9級？

5，乙個黑盒裡是乙個圖，結構未知，只知道點的個數是n，邊的個數是m，寫公式給出兩個點相連的概率。

6，54張牌，平均分成三堆，大小王在同一堆的概率？

solutions:

1, 0.25

假設整體長度為1（因為這個值不影響概率的計算，所以可以這樣假設），第一段的長度是x，第二段為y，第三段為1-x-y。

x,y值要想成為木棍切出來的長度必須要滿足的條件為 0而這三段要構成三角形還必須滿足：

x+y>1-x-y => x+y>0.5

x+1-x-y>y => y<0.5;

y+1-x-y>y => x<0.5

這些點構成圖2中黃色區域。黃色區域與紅色區域面積的比值就是，所有切割中能構成三角形的切割方式和所有切割方式的比值。也就是題目的答案。

2，這種一種概率模型？叫啥來著

因為每次拋到6的概率相等，都是1/6，於是期望的次數就是1/(1/6)=6次。

3，乙個木桶裡面有m個白球，每分鐘從桶中隨機取出乙個球塗成紅色（無論白或紅都塗紅）再放回，問將桶中球全部塗紅的期望時間是多少？

這題目和上面的用到了同樣的概率模型。

在m個球中取到第1個未著色的取得次數期望是：1

在m個球中取到第2個未著色的取得次數期望是：1/(m-1/m) ---- 這就是用題目2的模型得出的期望，就像拋色子(只有兩色)，第乙個著色的點數為1，其它所有未著色的是點數為2。

在m個球中取到第3個未著色的取得次數期望是：1/(m-2/m)

在m個球中取到第m個未作色的求所需要的取得次數的期望是：1/(1/m)

整體次數的期望就是 1+ 1/(m-1/m)+1/(m-2/m)+...+m

4，用a[i]表示從第i-1級公升到第i級期望使用的寶石數量。

當i<=5時，因為不會降級，則期望的數量均為2，即a[2] = a[3] = a[4] = a[5] = 2

當i>5時，因為會降級，成功時乙個寶石就夠了，不成功時需要倒退一級，需要先使用a[i-1]個寶石先回到i-1級，再使用a[i]個寶石公升到第i級，即

a[i] = 1 * 1/2 + (1 + a[i-1] + a[i]) * 1/2

即 a[i] = a[i-1] + 2

可知，a[6]= 4, a[7] = 6, a[8] = 8, a[9] = 10

則1級到9級需要的寶石數為 a[2]+…+a[9] = 36。

5，(only my solution, maybe it's not right...)

n個頂點可以有n=n*(n-1)/2條邊，所以這個問題與問題：進行n次實驗，每次實驗的結果符合伯努利分布，成功的概率為p（未知），n次實驗總的成功(平均)次數為m，那麼p是多少？是相同的。設隨機變數a表示n次伯努利實驗成功的次數，ai表示第i次實驗的結果，p(ai=0)=p，那麼a=a1+a2+... 。m=e(a)=e(a1)+e(a2)+.. 。而且e(ai)=p，所以很容易就求出p來了。

6，在高中時，這種題太小菜了!!可惜我已經高中過去七八年了~~~

隨機事件a: 小王和大王在同一堆

隨機事件ai：小王和大王在第i堆, i=1,2,3 。 a1，a2和a3互斥

p(a)=p(a1+a2+a3)=p(a1)+p(a2)+p(a3)=p(大王在第一堆，小王在第一堆)+p(大王在第二堆，小王在第二堆)+p(大王在第三堆，小王在第三堆)

=p(大王在第一堆|小王在第一堆)p(小王在第一堆)+p(大王在第二堆|小王在第二堆)p(小王在第二堆)+p(大王在第三堆|小王在第三堆)p(小王在第三堆)

=3*(17/53)*(1/3)

=17/53

1, 給你乙個陣列，設計乙個既高效又公平的方法隨機打亂這個陣列

2，有一蘋果，兩個人拋硬幣來決定誰吃這個蘋果，先拋到正面者吃。問先拋這吃到蘋果的概率是多少？

3，快速生成10億個不重複的18位隨機數的演算法(從n個數中生成m個不重複的隨機數)

solution1:

1，對於a[i],i=0,1,2,...n，隨機在陣列a[i,i+1,..n]中挑選乙個數字交換到a[i]。

為什麼這麼做會隨機？

證明演算法隨機，只需證明每個數字分配到每個位置的概率是相等的。

易得，陣列0-n位置的任意乙個數字到位置0的概率都是1/n

到位置1的概率是(1-1/n)*(1/(n-1))=1/n

解釋：p(到位置1)=p(第一次呼叫隨機演算法的時候沒交換到位置0)p(第二次到位置1|第一次呼叫隨機演算法的時候沒交換到位置0)

到位置2的概率是(1-1/n)(1-1/(n-1))(1/n-2)=1/n

2，a表示隨機事件先拋的人吃到蘋果，那麼

i表示先拋的人一共拋了的次數，上面的式子可以求出，p(a)=2/3

3,問題1

：每次拋硬幣出現正反兩面的可能性都是1/2

，那麼連續出現兩次正面的期望是什麼回答：

設期望為e

，那麼e

等於每個可以擲出連續兩次正面的次數乘以其概率的和。考慮第一次和第二次擲出的結果，若第一次結果為「正

」，第二次結果為「正

」，那麼結果是

1/4*2

；第一次結果為「正」

，第二次結果為「反

」，那麼前兩次都白擲了，那麼結果是

1/4*

（2+e

）；第一次結果為「反」

，那麼第一次白擲了，那麼結果是

1/2*

（1+e

）；因此求總和：e=1/4*2+1/4*

（2+e

）+1/2*

（1+e

），最後結果

e=6。

假設有乙個硬幣，丟擲字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次拋硬幣與前次結果無關。現在做乙個遊戲，連續地拋這個硬幣，直到連續出現兩次字為止，問平均要拋多少次才能結束遊戲？注意，一旦連續丟擲兩個「字」向上遊戲就結束了，不用繼續拋。

上面這個題目我第一次見到是在pongba的toplanguage的一次討論上，提出問題的人為shuo chen，當時我給出了乙個解法，自認為已經相當簡單了，先來考慮一下拋硬幣的過程：首先先拋一枚硬幣，如果是花，那麼需要重頭開始；如果是字，那麼再拋一枚硬幣，新拋的這枚如果也是字，則遊戲結束，如果是花，那麼又需要重頭開始。根據這個過程，設拋硬幣的期望次數為t，可以得到關係：

t = 1 + 0.5t + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5t)

解方程可得到 t = 6。

或者根據公式，需要連續丟擲n個字的一般情形，結果相當簡潔：tn = 2^(n+1) - 2，其中tn為首次出現連續的n個字的期望投擲數。

幾個概率題

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幾個概率問題

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