這個題目太大了，變化也層出不窮，這裡只是我的一點心得，不定期更新！
對於無窮進行的操作期望步數問題，一般可用遞推式解決。
對於乙個問題\(ans[x]\)，
我們可以考慮建立邏輯轉移：
\[ans[now] = merge(\ \ function(ans[now])\ ,\ function(ans[other])\ \ )
\]那麼我們進行移項後，
\[ans[now]\ delete\ function(ans[now])\ \ =\ \ function(ans[other])
\]此時，分離了\(ans[now]\) 與\(ans[other]\)， 那麼就構成了遞推關係。
.然後，對於遞推式，巧用順序列舉 與 倒序列舉， 來防止除0、溢位等問題。
比較經典的就是poj 2096 collecting bugs，它的原遞推式：
\(f[i][j]*(sn-ij) = function(f[i-1][j]\ ,\ f[i][j-1]\ ,\ f[i-1][j-1])\)
我們目標狀態為\(f[s][n]\)，那麼當\(i=s\)，\(j=n\)時就會出現除0的情況。
乙個比較巧妙的處理，改變狀態含義，把它變為倒序處理：
\(f[i][j]*(ns-ij) = function(f[i+1][j]\ ,\ f[i][j+1]\ ,\ f[i+1][j+1])\)
然後\(f[s][n]=0\)，目標狀態變為\(f[0][0]\)從而避免了除0的問題。
.例題：[shoi2002]百事世界盃之旅 、poj2096 collecting bugs。
注意式子的特性，觀察特定情況下是否可以直接算或者錯位相減。
注意式子的次數是否等差，當下錶值達到一定程度時是否存在特殊計算方法。
例如：\(f[i]=f[i-1]p_b+p_a(f[i-1]+1)p_b+^2(f[i-1]+2)p_b+....\)
那麼有\(p_af[i] = p_afp_b + ^2(f[i-1]+1)p_b + ^3(f[i-1]+2)p_b+...\)
然後錯位相減可得：
\((1-p_a)f[i] = p_b(f[i-1] + p_a + ^2 + ^3 + ....)\)
此時出現了等比數列，套等比數列求和即可。
一般錯位相減後 各種數學公式套一波 就可以把無限變為有限 。
例題：cf908d arbitrary arrangement
這個真的是套路了，大家應該都會。
對於乙個\(dp\)方程式，
若所有的轉移方程式都形如\(f(x) = function_^n f(i)\)
那麼直接移項，然後把每乙個轉移方程式當作乙個方程，高斯消元即可。
例題：[hnoi2013]遊走 ， [hnoi2011]xor和路徑
當直接用所需狀態設不出方程式的時候，考慮從當前狀態移動一步的條件與概率
那麼狀態變為\(f[移動步數]\)，
轉移為\(f[step] ==(function)==> f[step+1]\)
以這個角度思考，很有可能會出現遞推式，然後套用上面所說就可解出最終答案。
例題：[六省聯考2017]分手是祝願。
我們設答案(整數)為\(x\)，期望答案為\(e(x)\) ，\(p(x \ge i)\)表示答案大於等於\(i\)的概率，那麼有：
\[e(x) = \sum_^∞ p(x \ge i)
\]我們同時有：\(p(i \leq x-1) + p(i \ge x) = 1\)
第乙個公式中的無限看起來很嚇人，但根據實際意義可以變為有限(答案不可能大於最大上限)。
用這個公式可以將求解答案變為求解字尾和或者求解字首和。
那麼就改變了\(dp\)目標，有時候就可以幫助我們設計出可以轉移的狀態,最後套公式得解即可。
例題：luogu p3600 隨機數生成器 (難度較大強行插入大佬的題解：戳我1、戳我2)
期望及期望dp
簡單說就是概率 概率的價值 osu x 1 3 x3 3x2 3x 1 可以看出每多出乙個1，答案就會增加3x2 3x 1 於是可以維護x和x2的期望 x1 i x1 i 1 1 p i x2 i x2 i 1 2 x1 i 1 1 p i ans i ans i 1 3 x2 i 1 3 x1 i...
期望dp小結
前言 期望dp狀態的定義是較為顯然的，但對於狀態的轉移往往需要一些公式的推導。關鍵的幾點是狀態之間的互通性，和狀態轉移的花費，以及轉移的概率 解決期望dp的幾個技巧如下 e x y e x e y 我們所求的期望可以化為多個步驟的期望累和 相關題目 j,l 在目標確定的情況下，可以得知在目標到達目標...
期望概率 dp
p4316 綠豆蛙的歸宿 p1850 noip2016 提高組 換教室 p3802 小魔女帕琪 p5104 紅包發紅包 p4550 收集郵票 f i frac f i 1 frac f 1 g i frac g i f i 1 frac g f 1 p1291 shoi2002 百事世界盃之旅 p3...