學習筆記 FHQ Treap

fhq treap （%%%發明者範浩強年年noi金牌）是一種神奇的資料結構，也叫非旋treap，它不像treap zig zag搞不清楚（所以叫非旋嘛），也不像splay完全看不懂，而且它能完成treap與splay能完成的所有事，**短，理解也容易。

fhq treap和treap很像，都是給每個節點乙個隨機的權值，使它滿足堆的性質。建議先了解treap（沒必要實現，懂得原理即可）。不過，如果有兩個節點值相同，fhq treap不會用乙個陣列cnt記錄個數，而是直接再開乙個節點。

fhq的基本操作只有兩個：split與merge。

split表示把一棵樹分成兩棵，merge表示把一棵樹合併成一棵。

int l[maxn], r[maxn], sz[maxn], rk[maxn], val[maxn], tot;
int root;
int new( int v )
#define updata(x) sz[x] = sz[l[x]] + sz[r[x]] + 1

沒寫成結構體，沒寫成指標。

\(l[i]\)表示\(i\)的左兒子，\(r[i]\)表示\(i\)的右兒子，\(sz[i]\)表示以\(i\)為根的子樹包含的節點數，\(rk[i]\)表示為了保持平衡隨機賦予的權值，\(val[i]\)表示該節點儲存的值，\(tot\)表示節點數，\(root\)表示當前的根節點。

\(new(v)\)表示新建乙個值為\(v\)的節點（可以看成一棵只有乙個節點平衡樹）

\(updata(x)\)表示更新節點\(x\)的\(sz\)

怎麼分割呢？

常見的分割方法有兩種，一種是按值分，一種是按排名分（實現差不多，這裡只講按值分）。

先來看看定義。

void split( int c, int k, int &x, int &y );

c表示當前要分割的樹的根節點，並且把值\(\le k\)的節點分割出來，構成一棵樹，把\(x\)賦為根節點，其他節點另外構成一棵樹，把\(y\)賦為其根節點。\(x\)、\(y\)用引用(&)更方便處理。

對於當前的樹，如果根節點\(c\)的值\(\le k\)，\(c\)的左子樹也全部\(\le k\)，所以我們可以把\(x\)賦為\(c\)，保留左子樹，將右子樹\(\le k\)的部分分割出來作為\(x\)的右子樹。剩下的部分自然也就是在\(> k\)的部分。\(>k\)的情況同理。具體我們用遞迴實現。

void split( int c, int k, int &x, int &y )//如果當前處理的樹為空，分出的兩個子樹當然也為空，所以直接賦值返回。
if ( val[c] <= k ) x = c, split( r[c], k, r[x], y );//如果根節點值小於等於k，把x賦為c，繼續處理右子樹，並把小於等於k的部分分到x的右子樹，其他分到y
else y = c, split( l[c], k, x, l[y] );
updata(c);//別忘了更新sz
}

上面分割的操作不會改變堆的性質與二叉查詢樹的性質，但是在合併的時候要注意保持堆的性質。

void merge( int &c, int x, int y );

表示把以\(x\)和\(y\)為根節點的樹合併，將\(c\)賦為根節點。

注意：上面分割時x的所有節點的值都小於y的，合併時也要注意x的所有節點小於等於y，否則會出錯

由於\(x\)與\(y\)的權值在兩顆樹中是最大的，所以合併後的樹根節點不是\(x\)就是\(y\)。所以比較\(x\)與\(y\)的權值就可以判斷誰為根節點。

假設以\(x\)為根。因為保證\(x\)的所有節點的值都小於等於\(y\)的，所以\(y\)肯定會合併在\(x\)的右子樹。所以，我們不用動\(x\)的左子樹，合併\(x\)的右子樹與\(y\)作為\(x\)的右子樹。\(y\)為根時同理。這樣，就巧妙完成了同時維護堆的性質與二叉查詢樹的性質。

我們還是用遞迴。

void merge( int &c, int x, int y )
if ( rk[x] >= rk[y] ) c = x, merge( r[x], r[c], y );
else c = y, merge( l[y], x, l[c] );
updata(c);
}

我剛開始也理解不了這兩種操作。主要瓶頸在難以想象。其實可以看做只處理當前的，未處理的留到下一步，反正操作方法都一樣。

剩下的都可以用這兩種操作實現。

直接把它分成\(\le v\)的樹和\(> v\)的樹，將新建的節點與\(\le v\)的樹合併，再與\(>y\)樹合併即可。

//opt 1
void ins( int v )

分成\(\le k\)和\(> k\)兩顆樹，再分成\(、\(=k\)、\(> k\)三棵樹，將\(=k\)左右子樹合併，相當於刪去\(=k\)的乙個節點，然後將三棵樹重新合併即可。

// opt 2
void del( int v )

其實可以用while迴圈，，，但是，，，我，，，懶，，，所，，，以，，，直，，，接，，，，，，，

//opt 3
int getrankbyval( int v )

這真的不能用split和merge偷懶了，，，所以乖乖寫個while吧~

技術含量不高，自行理解。

//opt 4
int getvalbyrank( int rk )
return -1;//題目沒要求。。。只是為了自己查錯
}

分成兩顆樹\(與\(\ge v\)，在\(樹中找最大值即可。

//opt 5
int getpre( int v )

與查詢字首同理。

//opt 6
int getnxt( int v )

洛谷p3369 【模板】普通平衡樹

#includeusing namespace std;
#define maxn 100005
int l[maxn], r[maxn], sz[maxn], rk[maxn], val[maxn], tot;
int root;
int new( int v )
#define updata(x) sz[x] = sz[l[x]] + sz[r[x]] + 1
void split( int c, int k, int &x, int &y )
if ( val[c] <= k ) x = c, split( r[c], k, r[x], y );
else y = c, split( l[c], k, x, l[y] );
updata(c);
}void merge( int &c, int x, int y )
if ( rk[x] >= rk[y] ) c = x, merge( r[x], r[c], y );
else c = y, merge( l[y], x, l[c] );
updata(c);
}//opt 1
void ins( int v )
// opt 2
void del( int v )
//opt 3
int getrankbyval( int v )
//opt 4
int getvalbyrank( int rk )
return -1;
}//opt 5
int getpre( int v )
//opt 6
int getnxt( int v )
int t;
int main()
} return 0;
}

fhq treap還可以資瓷可持久化~比treap、splay好用多啦

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