給你 \(n\) 個點 \((x_i,y_i)\) ，要求求出這個 \(n-1\) 次多項式 \(f(x)\)
我們有\[f(x)=\sum_^ny_i\frac\!\!\!\!(x-x_j)}\!\!\!\!(x_i-x_j)}
\]感性愉悅認識一下這個拉格朗日插值
複雜度 \(o(n^2)\)
給你 \(x=\\}\) 和 乙個 \(n\) 次多項式 \(a\) ，要求求出 \(y=\)\}\)
將需要求的點值分成兩個子任務 \(x_1=\\rfloor}\},x_2=\\rfloor+1},x_\rfloor+2},\dots,x_\}\)
若已經完成了 \(x_1\) 與 \(x_2\) 兩個子任務的多點求值，且分別用 \(x_1\) 與 \(x_2\) 兩個集合中的點插值得到的多項式為 \(a_1(x),a_2(x)\)
考慮構造兩個多項式 \(p_1(x)=\prod\limits_\rfloor}(x-x_i)\) ， \(p_2(x)=\prod\limits_\rfloor
考慮 \(a(x)=q_1(x)p_1(x)+a_1(x)\) ，我們將 \(x\in x_1\) 的點代入，發現左邊這個式子是成立的。
於是我們可以得到 \(a_1(x)=a(x) \bmod p_1(x)\)
對 \(a_2\) 同理，然後我們可以兩邊遞迴求解
可以發現對於所有的 \(p\) 實際上在做分治合併的過程中都可以求，我們只需要存下來就可以了
根據主定理可以得到複雜度為 \(o(n\log^2 n)\)
\[a(x)=q(x)b(x)+r(x)
\]其中 \(\deg a=n,\deg b=m,\deg r=n-m,m
定義翻轉操作 \(a^r=x^na(\frac)\)，其中 \(n=\deg a\)
將 \(x=\frac\) ，並將兩邊同乘 \(x^n\)
\[\begin
&x^na(\frac)=x^q(\frac)x^mb(\frac)+x^x^r(\frac)\\
\rightarrow&a^r(x)\equiv q^r(x)b^r(x)\pmod }
\end
\]**晚點補
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