Lyndon Word學習筆記

定義：對於字串\(s\)，若\(s\)的最小字尾為其本身，那麼稱\(s\)為lyndon串

等價性：\(s\)為lyndon串等價於\(s\)本身是其迴圈移位中最小的乙個

任意字串\(s\)都可以分解為\(s = s_1 s_2 \dots s_k\)，其中\(\forall s_i\)為lyndon串且\(s_i \geqslant s_\)。且這種分解方法是唯一的

引理1：若\(u, v\)為lyndon串，且\(u < v\)，那麼\(uv\)為lyndon串

證明：

要證明\(uv\)為lyndon串只需證明\(uv\)本身為其最小字尾，

我們可以把所有的字尾分為兩類，一類是由\(u\)的字尾加上\(v\)串的來，這部分的相對大小不會改變。

另一類是\(v\)串的字尾，因為\(v\)本身也是lyndon串，我們只需證明\(v > uv\)，因為\(v > u\)，顯然成立

證明：

設\(pre(s, i)\)表示串\(s\)中\(s[1 \dots i]\)所代表的字首

若有兩種方案，取第一次不同的位置，設\(|s_i| > |s'_i|\)

令\(s_i = s'_i s'_ \dots s'_ pre(s_, l)\)

反證法。根據定義，\(s_i < pre(s'_, l) \leqslant s'_ \leqslant s'_i < s_i\)

矛盾

該演算法可以在\(o(n)\)的時間內求出串\(s\)的lyndon分解

測試位址

引理2：若字串\(v\)和字元\(c\)滿足\(vc\)是某個lyndon串的字首，則對於字元\(d>c\)有\(vd\)是lyndon串

證明：和上面同樣的思路，對於\(d\)之前的字尾相對大小不會改變，之後的字尾只會變大

\(s[1..i - 1] = s_1 s_2 \dots s_g\)是固定下來的分解，也就是\(\forall l \in [1, g] s_l\)是lyndon串且\(s_l > s_\)

\(s[i .. k - 1] = t_1 t_2 \dots t_h v(h > 1)\) 是沒有固定的分解，滿足\(t_1\)是lyndon串，且\(t_1 = t_2 = \dots = t_h\)，\(v\)是\(t_h\)的(可為空的)真字首，且有\(s_g > s[i .. k - 1]\)

當前讀入的字元是\(s[k]\)，令\(j = k - |t_1|\)

分三種情況討論

#includeusing namespace std;

const int maxn = (1 << 21) + 1;
char s[maxn];
int main() 
while(i <= j) 
}return 0;
}

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