線性基學習筆記及其相關證明

線性空間

線性基性質

線性基是特殊線性空間中的一組基底，具有以下特殊性質：

0：若\(d_i > 0\)，則\(d_i\)二進位制下第\(i+1\)位為\(1\)且\(i+1\)位為最高位。

1：元素線性無關，即異或和非0

證明：前者為線性無關，後者為異或路徑上的元素及插入點構成成\(a_i\)

3：選取一些元素構成集合\(s\)，其異或和\(x\)代替\(s\)中任意元素後新\(s\)和其他線性基中的元素張成的空間不變。

證明：考慮\(t\subset s,t\neq \empty,\bigoplus_^d_i=x\)時，對於\(\forall i,d_i\in t\)有\(\bigoplus_^d_j\bigoplus_^\oplus x=d_i\)，易得其等價。

4：線性基中數的個數唯一，且最少。

證明：對於乙個不能插入的原序列數\(x，(t\subset s,x=\bigoplus_^d_i)\)和線性基\(s\)，交換滿足\(\forall i,i\in t\)的\(d_i\)與\(x\)，性質在任意時刻仍然成立。

構造假設已經擁有乙個線性基，想要插入乙個數\(x\)

從高位往低位考慮，如果\(x\)的第\(j\)位為\(1\)且\(d_i>0\)那麼\(x=x\oplus d_i\)，即消掉與\(d_i\)相同的位且對其他\(i\)位取反。

異或保證了線性無關，明顯若中途為\(0\)，則線性相關，停止插入。

如果\(d_i=0\)且\(x\)的\(i+1\)位為\(1\)，則插入到\(d_i\)中

明顯對於\(j>i，d_j>0\)的\(d_j\)的第\(i+1\)位亦可能為\(1\)，但一定有\(j+1\)位為\(1\)，因此插入後滿足線性無關。

void insert(ll x)  else x ^= d[i];
} else if (!x) return;
}}

應用

1：最大最小異或和。

sol：\(d_i\)的最高位為\(i+1\)位，直接貪心即可

2：\(k\)小異或和。

sol：考慮構造新線性基，保證對於\(\forall i, d_i>0\)時，僅\(d_i\)的\(i+1\)位為\(1\)。

正確性：對於\(\forall i, d_i>0\)的 \(d_i\),若第\(\forall j, j\in[i-1,0]\)位\(>0\)且\(d_=0\)，那麼僅可能存在

\(\forall k,k\in[i-1,j+1]\)的\(d_k(d_k>0)\)使得\(d_k\)的第\(j\)為\(1\)，能夠消去\(d_i\)的第\(j\)位，但此時若\(d_i\)的\(k+1\)位為\(0\)

明顯\(d_i\)將在異或後變大，即不符合變小的約定。

若\(d_i\)的\(k+1\)位為\(1\)，則符合約定，因此構造滿足上述性質的線性基一定會使得獨立時能異或出\(k\)小。

\(k\)小異或和構造方法

對於每乙個\(d_i\)考慮其\(1\)至\(i\)位，若\(d_i\)的\(j\)位為\(1\)，將其異或上\(d_\)即可構造出目標線性基。

正確性：考慮前\(i-1\)位已經構造出來了，構造第\(i\)位的時候也一定合法

這啟發我們對於一組數插入的順序影響基底，但是不影響其張成的空間，這也對應著性質4

void kth()

實數線性基

實數線性基，和普通線性基區別不大，注意判eps，和異或線性基相似的地方是每個向量有m維

實際上就是m位的異或線性基，異或改成加減就好。

const ld eps = 1e-8;
int vis[n], n, m;
ld px[n][n];
inline int ins(ld *res) else 
}}