洛谷P3746 六省聯考2017 組合數問題

組合數 c_n^mcnm表示的是從 n 個互不相同的物品中選出 m 個物品的方案數。舉個例子，從 (1;2;3) 三個物品中選擇兩個物品可以有 (1;2);(1;3);(2;3) 這三種選擇方法。根據組合數的定義，我們可以給出計算組合數 c_n^mcnm的一般公式：

c_n^m = \fraccnm=m!(n−m)!n!

其中 n! = 1 × 2 × · · · × n。（特別的，當 n = 0 時， n! = 1 ，當 m > n 時， c_n^m =0cnm=0 ）

小蔥在 noip 的時候學習了 c_i^jcij和 k 的倍數關係，現在他想更進一步，研究更多關於組合數的性質。小蔥發現， c_i^jcij是否是 k 的倍數，取決於 c_i^j mod kcijmodk 是否等於 0，這個神奇的性質引發了小蔥對 mod 運算（取餘數）的興趣。現在小蔥選擇了是四個整數n; p; k; r，小蔥現在希望知道

\sum_^ c_^ mod p∑i=0infcnkik+rmodp

的值。輸入格式：

第一行有四個整數 n; p; k;r，所有整數含義見問題描述。

輸出格式：

一行乙個整數代表答案。

輸入樣例#1：複製

2 10007 2 0

輸出樣例#1：複製

輸入樣例#2：複製

20 10007 20 0

輸出樣例#2：複製

• 對於 30% 的測試點， 1 ≤ n; k ≤ 30， p 是質數；

• 對於另外 5% 的測試點， p = 2；

• 對於另外 5% 的測試點， k = 1；

• 對於另外 10% 的測試點， k = 2；

• 對於另外 15% 的測試點， 1 ≤ n ≤ 10^3; 1 ≤ k ≤ 50， p 是質數；

• 對於另外 15% 的測試點， 1 ≤ n × k ≤ 10^6， p 是質數；

• 對於另外 10% 的測試點， 1 ≤ n ≤ 10^9; 1 ≤ k ≤ 50， p 是質數；

• 對於 100% 的測試點， 1 ≤ n ≤ 10^9; 0 ≤ r < k ≤ 50; 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1。

作為省選的t3出題人居然給了60分的暴力分，太良心了qwq..

不過正解是死活想不到啊

設$c[i][j]$表示從$i$個元素中，拿所有滿足$x \%k=j $ 的 $x$個元素的方案數

那麼對於第$i$個元素，

不選的方案數為$c[i-1][j]$

選的方案數為$c[i-1][(j-1+k)%k]$

很顯然

可以用矩陣快速冪優化

然後就做完了

這題的關鍵是把楊輝三角的遞推與題目中給出的式子相結合，找到題目中式子的一般規律，

進而通過更高科技的演算法優化

注意$k=1$的特殊情況

#include#include
#include
#include
#define int long long 
using
namespace
std;
const
int maxn=1e6;
inline 
intread()
while(c>='
0'&&c<='9')
return x*f;
}int
n,mod,k,r;
int c[51][51
];struct
matrix
};matrix mul(matrix x,matrix y)
void
out(matrix x)
matrix fastpow(matrix a,
intp)
return
base;}
main()

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題解六省聯考2017

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