將\(\sum_^nk\)轉為封閉式方法:成套方法
轉為遞迴式
令\(s(n)=\sum_^nk\)
不難看出,\(s(n)=s(n-1)+n\)
一般化令\(r(n)\)為\(s(n)\)的一般形式
即\(r(0)=\alpha \qquad r(n)=r(n-1)+\beta n+\gamma\)
(1) 令\(r(n)=1\)
\[\therefore r(0)=1
\]\[\therefore \alpha = 1
\]\[\because r(n)=r(n-1)+\beta n+\gamma
\]\[\therefore 1=1+\beta n + \gamma
\]\[ \left\
\alpha = 1 \\
\beta = 0 \\
\gamma = 0
\end
\right.
\](2) 令\(r(n)=n\)
\[\therefore r(0) = 0
\]\[\therefore \alpha = 0
\]\[\because r(n)=r(n-1)+\beta n+\gamma
\]\[\therefore n = (n-1)+\beta n + \gamma
\]\[ \left\
\alpha = 0 \\
\beta = 0 \\
\gamma = 1
\end
\right.
\](3) 令\(r(n) = n^2\)
\[\therefore r(0) = 0
\]\[\therefore \alpha = 0
\]\[\because r(n)=r(n-1)+\beta n+\gamma
\]\[\therefore n^2 = (n-1)^2+\beta n + \gamma
\]\[\therefore n^2 = n^2 - 2n + 1+\beta n + \gamma
\]\[\therefore -1 =(\beta - 2) n + \gamma
\]\[ \left\
\alpha = 0 \\
\beta = 2 \\
\gamma = -1
\end
\right.
\]3.計算係數
令\(r(n)=a(n)\alpha + b(n)\beta + c(n)\gamma\)
(1) 當\(r(n) = 1\)時:
\[\because\left\
\alpha = 1 \\
\beta = 0 \\
\gamma = 0
\end
\right.
\]\[\therefore a(n) = 1
\](2) 當\(r(n) = n\)時:
\[\because\left\
\alpha = 0 \\
\beta = 0 \\
\gamma = 1
\end
\right.
\]\[\therefore c(n) = n
\](3) 當\(r(n) = n^2\)時:
\[ \left\
\alpha = 0 \\
\beta = 2 \\
\gamma = -1
\end
\right.
\]\[\therefore 2b(n) - c(n) = n^2
\]綜上:
\[ \left\
a(n) = 1 \\
c(n) = n \\
2b(n) - c(n) = n^2
\end
\right.
\]解得
\[ \left\
a(n) = 1 \\
b(n) = \frac \\
c(n) = n
\end
\right.
\]4.具體化
\[s(n) = s(n-1) + n
\]令\(p(n)\)為當\(\beta = 1, \gamma = 0\)時\(r(n)\)的值
\[\therefore p(n) = p(n-1) + n = s(n)
\]\(\therefore s(n)\)為當\(\beta = 1, \gamma = 0\)時\(r(n)\)的值
\[\therefore s(n) = b(n)
\]\[\therefore s(n) = \frac
\]
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