差分約束模板

如果乙個系統由 $n$ 個變數和 $m$ 個約束條件組成，其中每個約束條件形如 $x_i - x_j <= c_k$，其中 $c_k$ 是常數（可以是負數，也可以是非負數），則稱其為差分約束系統。我們要解決的問題是：求一組解 $x_1= a-1, x_2 = a_2,...,x_n = a_n$，使得所有的約束條件得到滿足，否則判斷無解。

差分約束系統中的每個約束條件 $x_i - x_j \leq c_k$ 都可以變形成 $x_i \leq c_k + x_j$，這與單源最短路中的三角形不等式 $dis[y] \leq dis[x] + w$ 非常相似。因此，我們可以把每個變數 $x_i$ 看作圖中的乙個節點，對於每個約束條件 $x_i - x_j \leq c_k$，從節點 $j 向節點 $i 連一條長度為 $c_k$ 的有向邊。

注意到，如果 $\$是該差分約束系統的一組解，那麼對於任意的常數 $d$，$\$ 顯然也是該差分約束系統的一組解。

設 $dis[0]=0$ 並向每個點連一條邊，跑單源最短路演算法。若圖中存在負環，則給定的差分約束系統無解，否則，$x_i = dis[i]$ 為該差分約束系統的一組解。

一般使用 $belllman-ford$ 或佇列優化的 $bellman-ford$ （俗稱 $spfa$）判斷圖中是否存在負環，最壞的時間複雜度為 $o(nm)$.

洛谷 p1993 小k的農場

求解差分約束系統，有 $m$ 條約束條件，每條形如 $x_a-x_b\geq c_k$，$x_a - x_b \leq c_k$，或 $x_a=x_b$ 的形式，判斷該差分系統有沒有解。

對於 $x_a = x_b$ 可以拆成等價的 $x_a \leq x_b$ 和 $x_a \geq x_b$.

建圖，然後跑單源最短路判斷是否存在負環即可。

bellman-ford版很慢，用時11.77s

#includeusing
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;const ll inf = 1ll << 61
;const
int maxv = 4*10000 + 10; //
最大頂點數
const
int maxe = 4*10000 + 10; //
最大邊數 
//至少3倍空間
ll dis[maxv];
struct
edge
edge[maxe];
inttot;
intn, m;
void addedge(int u, int v, int
w)bool bellman_ford(int
s) 
for (int i = 0; i < tot; i++)
if (dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] +edge[i].w)
return
false
; 
return
true;}
intmain()
else
if(order == 2
) 
else
}for(int i = 1;i <= n;i++) addedge(0, i, 0); //
保證圖的聯通，權值隨便
n++; //
增加源點0
if(bellman_ford(0)) printf("
yes\n");
else printf("
no\n");
//for(int i = 1;i < n;i++) printf("%d: %d\n", i, dis[i]); 可以輸出一組解
return0;
}

view code

dfs-spfa版的，很適合用來判斷負環，0 ms（雖然時間複雜度極度不穩定）

#include const
int maxn = 1e4+4
;const
int inf = 0x7fffffff
;int
n, m;
struct
ee[maxn
<<3
];int
head[maxn], en;
void add(int u, int v, int
w)int
vis[maxn], dis[maxn], spfa_flag;
void spfa(int
u) dis[v] = dis[u] +e[i].w;
spfa(v);}}
vis[u] = 0;}
intop, a, b, c;
intmain()
if(op==1
) 
if(op==2
) }
//for(int i = 1; i <= n; i++) add(n+1, i, 0);
for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = 0
; 
for(int i = 1; i <= n; i++) if (!vis[i]) spfa(i);
if(spfa_flag) printf("
no\n");
else printf("
yes\n");
return0;
}

view code

1. 2.

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差分約束系統模板

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