一條項鍊上有n種型別的珠寶，每種珠寶的數量均為偶數。問至少可以切多少刀，可以將所有珠寶均分？
首先介紹borsuk-ulam theorem:
想象乙個三維空間中的球面被扭曲壓縮到二維平面上，由於變形是連續的，因此球面上有許多點重合在了一起。
$borsuk-ulam$定理告訴我們，總能找到這樣的兩個點，它們一開始在球面上處於完全相反的兩極，經過對映後會重新合在一起。
這個定理有乙個經典的應用：地球上一定存在完全相對的某一對點，兩處的氣溫和氣壓都恰好相同。因為地球上每一點都對應這氣溫和氣壓兩個值，這與將地球表面對映到乙個二維平面是一樣的，同時這對映也是連續的。
給定某個從球面到平面的函式，想象地球赤道上兩個相對的點問繞赤道走一圈，則函式在平面上相應的函式值會形成某種閉合迴路，由於兩點最後一定交換了位置，那麼一定存在使這兩點的$x$座標相同的位置，標記下這一位置。
想象將赤道傾斜，沿著這個略微不同的圓繼續上述步驟，此時在平面上輸出的迴路會有所改變，不過同理，在路線上一定存在某點使得對拓的兩點$x$座標相等，標記下這一位置。
重複這一步驟，連續旋轉赤道，經過180°，回到原位。你所標記的點在球面上會形成閉合迴路。所標記的點在平面上同樣形成閉合迴路（白色線條所示），在這條回路上，這兩點的$x$座標總是相同的，同時由於兩點最後也會交換位置，因此中途定有一點使得$y$座標也相等。這樣我們就找到了這一點。
為了闡述該定理如何應用到我們的問題上，首先將$borsuk-ulam$定理嚴格寫出
$$\text f: s^2\rightarrow \mathbb^2 \\
\exists (x_1,x_2,x_3) \qquad\text x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 \\
f(x_1,x_2,x_3) = f(-x_1,-x_2,-x_3)$$
考慮僅有2中寶石的情況，令項鍊長度為1，欲將球的方程與切割方法聯絡起來，令切割的三段長度分別為$x^2,y^2,z^2$，並根據正負號將這一長度分給$a$或$b$比如係數為正，則這一段給賊1；係數為負，則一段給賊2
這樣就有$x^2+y^2+z^2=1$，即球面上的每一點對應一種分配方案。
更進一步地，我們構造這樣的函式：輸入乙個給定的項鍊分配方案，輸出兩個數，分別對應其中一人得到的兩種寶石數量。這其實就是從球面到平面的乙個對映。由$borsuk-ulam$定理可知，一定存在一種分配方案使得$a、b$在交換所分得的寶石後保持每種數量不變，也就是一種均分方案。
將這一定理拓展至高維情形：從乙個$n$維空間的超球面到$n-1$維空間的對映也必須保證這樣一對點存在。因此對於$n$種不同的寶石，只需要切$n$刀便可均分。
參考鏈結
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