樹鏈剖分詳解

樹鏈剖分，說白了就是一種讓你**不得不強行增加1k的資料結構-dms

:joy:

證明出題人非常毒瘤

可以非常友(bao)好(li)的解決一些樹上問題:grimacing:

樹鏈剖分的思想比較神奇

它的思想是：把一棵樹拆成若干個不相交的鏈，然後用一些資料結構去維護這些鏈

那麼問題來了

首先明確一些定義

重兒子：該節點的子樹中,節點個數最多的子樹的根節點(也就是和該節點相連的點)，即為該節點的重兒子

重邊：連線該節點與它的重兒子的邊

重鏈：由一系列重邊相連得到的鏈

輕鏈：由一系列非重邊相連得到的鏈

這樣就不難得到拆樹的方法

對於每乙個節點，找出它的重兒子，那麼這棵樹就自然而然的被拆成了許多重鏈與許多輕鏈

首先，要對這些鏈進行維護，就要確保每個鏈上的節點都是連續的，

因此我們需要對整棵樹進行重新編號，然後利用dfs序的思想，用線段樹或樹狀陣列等進行維護（具體用什麼需要看題目要求，因為線段樹的功能比樹狀陣列強大，所以在這裡我就不提供樹狀陣列的寫法了）

注意在進行重新編號的時候先訪問重鏈

這樣可以保證重鏈內的節點編號連續

上面說的太抽象了，結合一張圖來理解一下

對於一棵最基本的樹

給他標記重兒子，

藍色為重兒子，紅色為重邊

然後對樹進行重新編號

橙色表示的是該節點重新編號後的序號

不難看出重鏈內的節點編號是連續的

像什麼區間加區間求和什麼的

接下來結合一道例題，加深一下對於**的理解

題目鏈結

樹鏈剖分的裸題

首先來一坨定義

int deep[maxn];//

節點的深度 
int fa[maxn];//
節點的父親 
int son[maxn];//
節點的重兒子 
int tot[maxn];//
節點子樹的大小 

順便處理出每個節點的深度，以及他們的父親節點

int dfs1(int now, int f, int

dep) 
return
tot[now];
}

我把一開始的每個節點的權值存在了$b$陣列內

void dfs2(int now, int

topf) 

另外，這裡引入了乙個$top$陣列，

$top[i]$表示$i$號節點所在重鏈的頭節點(最頂上的節點)

至於這個陣列有啥用，後面再說

我們需要根據重新編完號的樹，把這棵樹的上每個點對映到線段樹上，

struct

tree t[maxn];

void build(int k, int ll, int

rr) 
int mid = (ll + rr) >> 1
; build(ls, ll, mid);
build(rs, mid + 1
, rr);
update(k);
}

這裡就不詳細解釋了

直接放**

void update(int k) 

void intervaladd(int k, int ll, int rr, int val) 

pushdown(k);
int mid = (t[k].l + t[k].r) >> 1
; 
if (ll <=mid) intervaladd(ls, ll, rr, val);
if (rr >mid) intervaladd(rs, ll, rr, val);
update(k);
}int intervalsum(int k, int ll, int rr) 
void pushdown(int k) 

樹鏈剖分的思想是:對於兩個不在同一重鏈內的節點,讓他們不斷地跳,使得他們處於同一重鏈上

那麼如何"跳」呢？

還記得我們在第二次$dfs$中記錄的$top$陣列麼？

結合$deep$陣列

假設兩個節點為$x$,$y$

我們每次讓$deep[top[x]]$與$deep[top[y]]$中大的(在下面的)往上跳(有點類似於樹上倍增)

void treesum(int x, int y) 

if (deep[x] >deep[y]) swap(x, y);
ans = (ans + intervalsum(1, idx[x], idx[y])) %mod;
printf(
"%d\n
", ans);
}void treeadd(int x, int y, int val) 
if (deep[x] >deep[y]) swap(x, y);
intervaladd(
1, idx[x], idx[y], val);
}

還是上面那張圖，假設我們要查詢$3.6$這兩個節點的之間的點權合，為了方便理解我們假設每個點的點權都是$1$

剛開始時

$top[3]=2,top[6]=1$

$deep[top[3]]=2,deep[top[6]]=1$

我們會讓$3$向上跳,跳到$top[3]$的爸爸,也就是$1$號節點

這是$1$號節點和$6$號節點已經在同一條重鏈內,所以直接對線段樹進行一次查詢即可

這個就更簡單了

所以修改的時候直接這樣

intervaladd(1,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,z%mod);

如果邊$\left( u,v\right)$,為輕邊,那麼$size\left( v\right) \leq size\left( u\right) /2$。

證明：顯然:joy:，否則該邊會成為重邊

樹中任意兩個節點之間的路徑中輕邊的條數不會超過$\log _n$,重路徑的數目不會超過$\log _n$

證明：不會:stuck_out_tongue_winking_eye:

有了上面兩條性質，我們就可以來分析時間複雜度了

由於重路徑的數量的上界為$\log _n$，

線段樹中查詢/修改的複雜度為$\log _n$

那麼總的複雜度就是$\left( \log _n\right) ^$

樹剖可以求lca，沒想到吧

這份**是以前寫的，可能比較醜，下面兩份是剛剛寫的

有點意思

樹鏈剖分詳解

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