判斷兩條線段是否相交（向量叉乘）

問題：給出兩條線段，問兩線段是否相交？

向量叉乘（行列式計算）：向量a（x1，y1），向量b（x2，y2

首先我們要明白乙個定理：向量a×向量b（×為向量叉乘），若結果小於0，表示向量b在向量a的順時針方向；若結果大於0，表示向量b在向量a的逆時針方向；若等於0，表示向量a與向量b平行。（順逆時針是指兩向量平移至起點相連，從某個方向旋轉到另乙個向量小於180度）。如下圖：

在上圖中，oa×ob = 2 > 0， ob在oa的逆時針方向；oa×oc = -2 < 0,oc在oa的順勢針方向。即叉乘結果大於0，後乙個在前乙個的逆時針方向；小於零，後乙個在前乙個的順時針方向。

那如何來判斷兩線段是否相交呢？

假設有兩條線段ab，cd，若ab，cd相交，我們可以確定：

1.線段ab與cd所在的直線相交，即點a和點b分別在直線cd的兩邊；

2.線段cd與ab所在的直線相交，即點c和點d分別在直線ab的兩邊；

上面兩個條件同時滿足是兩線段相交的充要條件，所以我們只需要證明點a和點b分別在直線cd的兩邊，點c和點d分別在直線ab的兩邊，這樣便可以證明線段ab與cd相交了。

那判斷兩線段是否相交與一開始提到的向量叉乘定理有什麼關係呢？有，我們可以通過叉乘來證明上面說的充要條件。看下圖：

在上圖中，線段ab與線段cd相交，於是我們可以得到兩個向量ac，ad，c和d分別在ab的兩邊，向量ac在向量ab的逆勢針方向，ab×ac > 0；向量ad在向量ab的順勢針方向，ab×ad < 0，兩叉乘結果異號。

這樣，方法就出來了：如果線段cd的兩個端點c和d，與另一條線段的乙個端點（a或b，只能是其中乙個）連成的向量，與向量ab做叉乘，若結果異號，表示c和d分別在直線ab的兩邊，若結果同號，則表示cd兩點都在ab的一邊，則肯定不相交。

當然，不能只證明c，d在直線ab的兩邊，還要用相同的方法證明a，b在直線cd的兩邊，兩者同時滿足才是線段相交的充要條件。

不過，線段相交還有一些特殊情況：

1.只有1點相交，如下圖：

上圖中，線段ab與cd相交於c點，按照之前介紹的方法，我們可以連成兩向量ad和ac，這時候，我們發現，ac與ab共線，ab×ac = 0；而ab×ad < 0；兩者並不異號，可實際上仍然相交。所以當出現兩叉乘結果中，有一方為0，也可以看成點cd在直線ab的兩邊。

2.兩條線段重合，如下圖：

在上圖中，線段ab與線段cd重合，重合部分為cb，這種重合的情況要特殊判斷：

首先，我們給沒條線段的兩個端點排序，大小判斷方法如下：橫座標大的點更大，橫座標相同，縱座標大的點更大。

排好序後，每條線段中，小的點當起點，大的當終點。我們計算向量ab×向量cd，若結果為0，表示線段ab平行cd，平行才有了重合的可能；但平行也分共線和不共線，只有共線才有可能重合，看下圖：

上圖中，第一種情況不共線，第二種情況共線。那如何來判斷是否共線呢？

我們可以在兩條線段中各取一點，用這兩點組成的向量與其中一條線段進行叉乘，結果若為0，就表示兩線段共線，如下圖：

我們取向量bc，若bc×cd = 0，表示兩點共線，即是第二種情況，否則就是第一種情況。第一種情況肯定不相交。猴子為什麼不喜歡平行線？因為他們沒有相交。。。（尬）

然然然然然而，即使他們共線，卻還是不一定重合，就如上圖中第二種情況。這時候，之前給點排序的妙處就體現出來了：

若一條線段ab與另一條線段cd共線，且線段ab的起點小於等於線段cd的起點，但線段ab的終點（注意是終點）大於等於線段cd的起點（注意是起點），或者交換一下順序，cd的起點小於ab的起點......只要滿足其中乙個，就表示有重合部分。

下面來道例題：51nod1264（模板）

**：

#include#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define eps 1e-7
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pi 3.141592653589793238462643383279
using
namespace
std;
struct
node; 
double cmp(node a,node b) //
給線段的座標排序 
double compute(double x1,double y1,double x2,double y2) //
計算叉乘的結果 
int compare(node a,node b) //
比較座標的大小 
intmain()
else flag = 0
; }
else
if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) !=0 ) //
若不平行 
else flag = 0
; 
if(flag) cout<
yes\n";
else cout<
no\n";}}

view code

參考部落格：

判斷兩條線段是否相交 （向量叉乘）

向量叉乘 判斷兩條線段是否相交

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