指標實現 Treap

前置知識：二叉排序樹，堆。

應用場景：平衡樹。

我們都知道，二叉排序樹就是滿足「\(lch」（左兒子小於根節點，右兒子大於根節點）的二叉樹，一般情況下插入、刪除和搜尋的時間複雜度都為 \(\theta(\log n)\) ，非常快。但在特殊情況下，二叉排序樹可能會退化成鏈，時間複雜度也會變為 \(\theta(n)\) 。只有當二叉排序樹平衡時速度最優。

堆也很簡單，就是根節點大於子節點的完全二叉樹。

當二叉排序樹退化成鏈時速度會大打折扣，因此很多毒瘤出題者都喜歡卡它。但是既然能有這種題目，那麼肯定就有能解決的方法，當然也不排除出題者自己都沒有做出來。二叉排序樹平衡時時間複雜度為 \(\theta(\log n)\) 。所以，若要保證二叉排序樹的最大時間複雜度為 \(\theta(\log n)\) ，就要保證該二叉排序樹平衡。這就是是平衡樹。

平衡樹有很多種，本文就不再贅述，僅討論treap。

二叉排序樹和堆都是二叉樹。既然堆就是完全二叉樹，何不利用它這個性質來保證二叉排序樹平衡呢？

於是tree(二叉排序樹)+heap(堆)=treap，treap橫空出世！

這裡我定義了乙個結構體treap來封裝，然後再treap內又定義了結構體node，表示節點。

struct treap
e[100005],*root,*cnt;
};

解讀：

e：儲存所有節點。

root：指向根節點的指標。

cnt：指向最後乙個插入的節點的指標。

如果沒能看懂各變數的作用也沒有關係，在後面的操作中會為您一一解答。

2-0-1 建構函式

node(){}
// 插入節點時用
node(const int &x)

優化

c++自帶的rand函式速度較慢，我們可以自己寫乙個mrand函式來取代：

inline unsigned mrand()

然後建構函式如下：

node(){}
// 插入節點時用
node(const int &x)

2-0-2 更新節點資訊

不解釋：

inline void pushup()

現在node實現如下：

struct node
node(const int &x)
inline void pushup()
};

下面實現操作的函式均為treap的成員函式。

附：除錯函式，輸出當前樹的詳細資訊：

// now 表示所操作子樹的根節點指標引用，indent 表示當前縮排長度
void output(node *&now,const int &indent)
// 初始函式（方便呼叫）
inline void output()

旋轉是很多平衡樹常見的操作，分為左旋和右旋。

左旋的操作如下：

右旋的操作與此類似，僅方向不同。事實上，右圖中的樹右旋後即可得到左圖。

實現的**也很簡單：

// now 表示所操作子樹的根節點指標引用，d 表示旋轉方向（0 表示右旋，1 表示左旋）
// 這裡 now 為引用型別，便於更改。
inline void rotate(node *&now,const bool &d)

那麼為什麼要旋轉呢？因為每個節點都會有乙個隨機優先值，而treap的每個節點的優先值都比其子節點的大，利用堆的思想，使得treap相對平衡。

treap的插入其實就是在二叉排序樹的插入的基礎上通過旋轉保證treap堆的性質。

// now 表示指向當前節點的指標的引用，x 表示要插入的值
// 這裡 now 為引用型別，便於更改。
void insert(node *&now,const int &x)
++(now->size); // 因為新節點在以 now 指向的節點為根節點的子樹內，所以當前子樹的節點數+1
// 如果當前節點的數值不等於 x
if(now->val!=x)
// 否則說明當前節點的數值等於 x
else ++(now->times); // 當前節點的數值的存在數量+1
now->pushup(); // 更新當前節點（之前我沒有加上，導致我調了好久的 bug）
}// 初始函式（方便呼叫）
inline void insert(const int &x)

首先找到要刪除的節點，然後通過旋轉將其下移，直到其沒有子節點時之間再將其直接刪除。

// now 表示指向當前節點的指標的引用，x 表示要刪除的值
// 這裡 now 為引用型別，便於更改。
void remove(node *&now,const int &x)
now->pushup();// 更新當前節點
}// 初始函式（方便呼叫）
inline void remove(const int &x)

這個與二叉排序樹的操作一樣。

// now 表示指向當前節點的指標的引用，x 表示要查詢的值
int getrank(node *&now,const int &x)
// 初始函式（方便呼叫）
inline int getrank(const int &x)

// now 表示指向當前節點的指標的引用，x 表示要查詢的排名
int getval(node *&now,const int x)
// 初始函式（方便呼叫）
inline int getval(const int &x)

// now 表示指向當前節點的指標的引用，x 表示要查詢的數值
int getprev(node *&now,const int &x)
// 初始函式（方便呼叫）
inline int getprev(const int &x)

與查詢前驅思路相同。

// now 表示指向當前節點的指標的引用，x 表示要查詢的數值
int getnext(node *&now,const int &x)
// 初始函式（方便呼叫）
inline int getnext(const int &x)

這是一道模板題，沒什麼好說的，直接上**：

指標實現 Treap

Treap原理和實現方法

Treap實現的名次樹

Treap的實現方法 BZOJ 3224

指標實現 Treap

Treap原理和實現方法

Treap實現的名次樹

Treap的實現方法 BZOJ 3224

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